Урок 3.1. Теорема Виета в задачах
с параметрами

Пример 2

При каких значениях параметра а один из корней уравнения

x 2 – (a + 2) x + a 2 + 1 = 0 вдвое больше другого его корня?

Решение

Заметим, что подстановка x = 0 в уравнение не превращает его в верное числовое равенство: x = 0 влечет a 2 + 1 = 0, что невозможно. Поэтому , если обозначить символами  x1 и x2 корни уравнения, то условие задачи можно записать в виде:

, что равносильно условию . Тогда .

Воспользовавшись преобразованием

и заменив, согласно теореме Виета,

,

получаем уравнение для отыскания значений параметра:

.

Решим его: 2(a + 2)2 = 9(a2 + 1)2a 2 + 8a + 8 = 9a 2 + 97a 2 – 8a + 1 = 0. Следовательно, a1 = 1, a2 = . Помня о том, что использование соотношений Виета еще не гарантирует наличие корней, проверим для полученных a  условие неотрицательности дискриминанта:

D = ( a + 2)2 a2 – 1 = 4a + 3 ≥ 0 , следовательно a ≥ – .

Из последнего неравенства следует, что оба значения a удовлетворяют условию задачи.

Ответ:

 

ИИСС "Алгебраические задачи с параметрами"