Первые шаги теории вероятностей

Теория вероятностей – это раздел математики, изучающий закономерности, присущие случайным явлениям. Казалось бы, «закономерность» и «случай» – противоположности. Закономерное – то, что в какой-то мере можно предсказать, случай же – как раз нечто непредсказуемое. Тем не менее, и случайным явлениям, не предсказуемым в полной мере, оказывается, могут быть присущи определенные закономерности, касающиеся большого числа однотипных случайных явлений, выполняющиеся приблизительно, в среднем.

Событием в теории вероятности называется тот или иной исход некоторого опыта (испытания), который, в идеале, может быть воспроизведен сколько угодно раз приблизительно в тех же условиях (насколько вообще возможно проконтролировать эти условия). Если исход данного испытания, тем не менее, может быть разным, т. е. данное событие может произойти, а может и не произойти, это событие называют случайным. Случайным событиям в теории вероятностей приписывается некое число от нуля до единицы, называемое вероятностью. Если событие точно произойдет, его вероятность равна единице, а если точно не произойдет, то нулю. Чтобы понять, какова вероятность какого-либо события, используют два определения – классическое и статистическое.

Статистическое определение вероятности. Предположим, что провели n независимых испытаний, рассматриваемое событие наступило в m из них. Частотой появления этого события называется отношение m/n (ясно, что это отношение лежит от 0 до 1, поскольку m не больше n). Во многих случаях при увеличении числа испытаний частота m/n делается все ближе и ближе к определенной величине p. Тогда говорят, что вероятность события приблизительно равна p. Если бы число испытаний было бы бесконечным, частота m/n в точности равнялась бы p. Но, поскольку в действительности число испытаний все же конечно, подсчитать точно вероятность, пользуясь статистическим определением, как правило, невозможно; однако для практики приближенное значение, соответствующего имеющимся данным, может быть довольно точным, если этих данных достаточно много.

Классическое определение вероятности оперирует с некоторым числом несовместимых друг с другом элементарных событий, из которых какое-либо одно должно реализоваться с достоверностью и которые считаются равновероятными; эти элементарные события называются случаями. Например, при бросании идеального игрального кубика такими элементарными событиями являются выпадения каждой из шести граней. Вероятность некоторого события, которому благоприятствует часть элементарных событий и не благоприятствует другая часть, определяется как отношение числа благоприятных случаев к числу всех возможных случаев. Пусть, например, надо определить вероятность выпадения числа очков, большего 4. Благоприятными случаями являются выпадения 5 и 6, неблагоприятными – выпадения любой остальных четырех граней. Следовательно, вероятность выпадения числа очков, большего четырех, равна 2/6 = 1/3. Недостатком классического определения является то, что оно содержит порочный круг: прежде чем считать элементарные события (случаи) равновероятными, надо уже знать, что такое вероятность. Например, равновероятность выпадения граней игрального кубика проверяется с помощью статистического определения, то есть путем многократного бросания и подсчета отношения выпавших единиц, двоек, троек и т. д. к общему числу бросаний. У хорошего кубика каждое из этих отношений должно отличаться от 1/6 не больше чем, скажем, на 0,01.

В явном виде понятие «отношения числа благоприятных случаев к числу всех возможных случаев» (т. е. классическое определение вероятности) впервые появилось в книге Я. Бернулли «Искусство предположений», изданной посмертно в 1713 г. Но долгое время теория вероятностей развивалась без четкого понятия о вероятности и скорее как совокупность задач, чем как единая теория. На возникновение и первоначальное развитие теории вероятностей оказали влияние задачи, возникающие в демографии (исследование рождаемости и смертности), в практике страховых обществ (необходимость учитывать возможные риски), в обработке научных данных (прежде всего, астрономических наблюдений), но особенно – в азартных играх. До сих пор при учебном изложении основ теории вероятностей нередко пользуются задачами, связанными с бросанием монеты, играми в кости или в карты, так как при этом сравнительно легко подсчитать вероятности тех или иных возможных исходов.

Одной из первых математических задач, которая была поставлена в отношении игры в кости, был подсчет различных возможных исходов при бросании нескольких игральных костей (или, что то же, при бросании одной кости несколько раз). Строго говоря, эта задача относится, скорее, к комбинаторике, чем собственно к теории вероятностей. Первый известный нам подсчет такого рода принадлежит епископу Вибольду из Камбре (X в.). В средневековье писались поэмы, в которых каждому исходу при бросании трех костей соответствовал определенный стих: таких стихов было 56, потому что именно таково количество возможных исходов, если только не учитывать, что кости могут появляться в разном порядке.

Докажите, что их действительно 56.

Решение

При этом и вероятность разных исходов будет разной: например, выпадение трех одинаковых костей, скажем, 3, 3, 3, может реализоваться лишь одним способом, а вероятность трех разных, скажем, 2, 3, 4 – шестью способами (P3 = 6): 2, 3, 4; 2, 4, 3; 3, 2, 4; 3, 4, 2; 4, 2, 3; 4, 3, 2. Поэтому три тройки будут выпадать в шесть раз реже, чем двойка с тройкой и четверкой. Если учитывать порядок, то число возможных исходов будет равно 63 = 216: первая кость может упасть шестью способами, вторая, независимо от первой – также шестью, итого 62 = 36 вариантов выпадения двух костей (с учетом порядка), третья, независимо от первых двух – тоже шестью, итого получается 216 вариантов. Впрочем, подсчеты эти часто производились неверно. В 1477 г. Бенвенуто д'Имола издал в Венеции «Божественную Комедию» Данте со своими примечаниями. В VI песни «Чистилища» упоминается игра в кости:

Когда кончается игра в три кости,
То проигравший снова их берет
И мечет их один в унылой злости...

Д'Имола в комментарии к этому месту подсчитывает число исходов при бросании трех костей, но допускает ошибку, считая, что 4, а также 17, очков могут выпасть лишь одним способом. На самом деле таких способов в обоих случаях по три: 2, 1, 1; 1, 2, 1; 1, 1, 2 (соответственно, 6, 6, 5; 6, 5, 6; 5, 6, 6). Подсчетом числа исходов при бросании нескольких костей занимались Н. Тарталья, Дж. Кардано и другие математики XVI в. Наиболее полный анализ приведен у Г. Галилея в «Рассуждении об игре в кости» (впервые опубликовано в 1718 г.).

Вот одна из задач, сформулированных и решенных Кардано: указать количество случаев при бросании двух игральных костей, в которых единица или двойка появятся хотя бы раз.

Решение

Постановка некоторых задач, связанных с азартными играми и заинтересовавших Б. Паскаля, принадлежит известному в то время игроку Шевалье де Мере. Такова, например, следующая задача. Игральную кость бросают четыре раза. На что выгоднее сделать ставку: на то, что при этом шестерка выпадет по крайней мере один раз, или на то, что шестерка не выпадет ни разу?

Решение

Большое значение в истории теории вероятностей принадлежало задаче о пропорциональном разделе ставки между двумя игроками, если игра прервана до того, как кто-либо из игроков выиграл число партий, требуемое для окончания игры. Л. Пачоли предлагал делить ставку в этом случае пропорционально числу уже выигранных партий. Дж. Кардано считал, что если исходно было условлено играть до k партий и один из игроков выиграл m, а другой n партий, когда игру пришлось прервать, то ставку надо разделить в отношении (1 + 2 + 3 + ... + (kn)) : (1 + 2 + 3 + ... + (km)). Самое верное решение нашли в переписке Паскаль и Ферма: хотя они не пользовались еще понятием вероятности в явном виде, именно эта их переписка сыграла важную роль в становлении этого понятия. Фактически, Ферма и Паскаль предложили делить ставку пропорционально вероятности выиграть всю сумму, если бы игра была продолжена. Они пришли к верному результату разными путями; по поводу совпадения окончательного итога Паскаль заметил: «Как я вижу, истина одна: и в Тулузе, и в Париже».

Например, Паскаль рассматривал такую задачу: как разделить ставку в игре до трех выигрышных партий, если один игрок выиграл две партии, а другой одну, и каждый вложил в игру по 32 пистоля?

Смысл игры заключается в том, что игрок, который первым выиграет три партии, получает всю сумму. Паскаль решает эту задачу так. Если бы следующую партию выиграл первый, то он получил бы все 64 пистоля. Если бы выиграл второй, то за обоими игроками стало бы по две партии, игроки оказались бы в равном положении и, при прерывании игры, должны были бы поделить ставку пополам, получив по 32 пистоля. Следовательно, независимо от результата ближайшей партии первый получил бы 32 пистоля. Получить остальные 32 пистоля шансы у обоих равны. Если игру невозможно продолжать дальше, эти 32 надо поделить поровну, и тогда первый получит 48, а второй 16 пистолей.

С помощью сведения к предыдущей рассмотрите следующую задачу: как разделить ставку в игре до трех выигрышных партий, если один игрок выиграл две партии, а другой ни одной, и каждый вложил в игру по 32 пистоля?

Решение

Ферма рассмотрел и более сложную задачу. Пусть до выигрыша всей встречи игроку A недостает двух партий, а игроку B трех партий. Как справедливо разделить ставку, если игра прервана?

Он рассуждает таким образом. Если бы игроки сыграли бы еще четыре партии, игра заведомо бы закончилась, поскольку либо первый выиграл бы две, либо второй три. Возможные результаты четырех партий можно свести в таблицу («+» обозначает выигрыш игрока A, «–» его проигрыш в конкретной партии).

1 + + + + + + + +
2 + + + + + + + +
3 + + + + + + + +
4 + + + + + + + +

В 11 партиях A выигрывает, в остальных 5 партиях (выделены цветом) проигрывает. Поэтому ставку надо разделить в отношении 11 : 5.

Паскаль сформулировал решение Ферма с помощью изученного им треугольника чисел сочетаний. Из всех возможных наборов 4 элементов (4 партий) соответствуют выигрышу A те, в которых выбраны не менее двух элементов: таких наборов будет + + Выигрышу B соответствуют те, в которых выбраны менее двух элементов: таких наборов будет ( + ). Эти числа легко получить, рассмотрев строку треугольника Паскаля, соответствующую n = 4: 1 4 6 4 1. Сумма двух первых чисел 5, сумма трех последующих 11.