Алфавитные нумерации

Другой принцип записи чисел, широко применявшийся в древности, – обозначение их буквами алфавита. Алфавитные нумерации существовали у евреев, сирийцев, греков, грузин, армян, арабов и славян.

Греческая ионийская нумерация, вытеснившая аттическую в III в. до н. э., использует 27 символов, которые обозначают количества единиц (от 1 до 9), десятков (от 10 до 90) и сотен (от 100 до 900). Кроме 24 букв классического греческого алфавита используются также две архаические буквы: для 6 – дигамма, напоминающая лат. F (позднее была заменена концевой сигмой σ), для 90 – коппа, похожая на лат. q, – а также, для 900, специфический значок сампи, возникший из сочетания букв сигма и пи (зафиксирован только в числовом значении). Чтобы отличать числовое значение букв от обычного, над буквами, обозначающими числа, ставили черточку. С помощью данных 27 букв можно было записать любое число от 1 до 999 не более чем тремя символами – для сотен, для десятков и для единиц – существенная экономия по сравнению с аттической системой!

Числа от 1000 до 9000 обозначались теми же буквами α, β, γ и т. д., что и числа от 1 до 9, но теперь рядом с ними слева внизу ставили черточку.

Числа 10 000, 20 000, 30 000 и т. д. обозначались буквой М (от «мириада» – десять тысяч) с написанной над ней (или слева от нее) соответствующей буквой α, β, γ и т. д.

1 10 100 1000
10 000
2 20 200 2000
20 000
3 30 300 3000
30 000
4 40 400 4000
40 000
5 50 500 5000
50 000
6 60 600 6000
60 000
7 70 700 7000
70 000
8 80 800 8000
80 000
9 90 900 9000
90 000
Таблица 1. Ионийская нумерация

Хотя представляется, что возможности алфавитной нумерации в обозначении больших чисел ограничены, в работе «Исчисление песчинок» («Псаммит») Архимед разработал способ, который позволил бы выражать сколь угодно большие числа (даже число песчинок во всей Вселенной) посредством специальной, созданной по определенным правилам системы наименований десятичных разрядов. Числа от 1 до мириады мириад (108 – 1) Архимед называет первыми числами, от 108 до (108 ∙ 2 – 1) – вторыми, от 108 ∙ 2 до (108 ∙ 3 – 1) и т. д., вплоть до мириадо-мириадных чисел (до 10 в степени 8∙108). Все эти числа образуют первый период. Аналогично строятся числа второго периода, затем третьего и т. д., та же конструкция может быть продолжена как угодно далеко.

Ионийская система почти в неизменном виде перекочевала к славянам, алфавиты которых (кириллица и глаголица) созданы на основе греческого. Славянские буквы, не имеющие аналогов в греческом алфавите – «буки» (Б), «живете» (Ж), «ша» (Ш), «ер» (Ъ) и др., – не использовались для обозначения чисел. Исключение составляют буквы «червь» (Ч) и «цы» (Ц), которыми славяне заменили коппу (90) и сампи (900). Значение 6 получила буква «зело» (S), похожая на концевую сигму. Большее распространение получили кириллические, а не глаголические обозначения чисел. Чтобы отличать числовые значения от звуковых, над буквами, когда они обозначали числа, ставили специальный знак «титло».

Старшие разряды обозначались теми же буквами (как правило, первыми девятью, от «аза» до «фиты»), но с разным обрамлением. Десять тысяч назывались «тьма», сто тысяч – «легион», миллион – «леодр».

Рис. 1. Славянская запись чисел

В одной из русских рукописей XVII в. упоминается и другая нумерация – т. н. великое число (появившееся, возможно, не без влияния Архимеда), в котором слово «тьма» и соответствующее обозначение употребляется по отношению к миллиону (тысяче тысяч), «легион» – по отношению к тьме тем (1012), «леодр» – по отношению к легиону легионов (1024). Леодр леодров – 1048 – называется «вороном», а десять воронов – 1049 – «колодой». На этом месте счет прерывается, и говорится: «И более сего несть человеческому уму разумевати».

Алфавитные нумерации имеют тот недостаток, что в них затруднительны арифметические действия, в частности, умножение и деление. Он преодолевается в позиционных, или поместных нумерациях, в которых единицы различных разрядов обозначаются одним и тем же символом, а собственно разряды – местом этих символов в записи числа. Нумерация, которой мы обычно пользуемся, именно такова.