Проективные преобразования. Теоремы Менелая и Паппа

Центральным проектированием плоскости π на плоскость π' из центра O (не принадлежащего ни одной из этих плоскостей) называется такое отображение на плоскость π', при котором каждой точке P плоскости π ставится в соответствие точка P' плоскости π', лежащая на прямой OP.

Рис. 1. Центральное проектирование


Если вслед за центральным проектированием совместить плоскость π' с плоскостью π при помощи какого-либо пространственного перемещения, то мы получим отображение, переводящее плоскость π в себя. Эту операцию можно осуществить много раз, проектируя эту плоскость на другие из разных центров и затем совмещая плоскости; в результате всякий раз будут получаться различные проективные преобразования.

Центральное проектирование гораздо сильнее, нежели параллельное проектирование, искажает форму фигур. Хотя в целом верно, что точки, лежащие на одной прямой, при центральном проектировании переходят в точки, лежащие на одной прямой, отрезок, например, может перейти не только в отрезок, но и в луч и даже в два луча. Пересекающиеся прямые могут стать параллельными, и наоборот.

Рис. 2. Отрезок, переходящий в два луча при центральном проектировании; пересекающиеся прямые, отображающиеся в параллельные


При центральной проекции плоскости π на плоскость π' эти плоскости оказываются задействованными не полностью: на плоскости π есть целая прямая x, которая не отображается никуда (потому что прямые, соединяющие центр проектирования с ее точками, будут параллельны плоскости π'), и на плоскости π' есть целая прямая y, в которую ничего не отображается (потому что прямые, соединяющие центр проектирования с ее точками, будут параллельны плоскости π). Если прямая l плоскости пересекает прямую x, то при приближении к прямой x точки прямой l проекция этой точки удаляется в бесконечность.

Рис. 3. Прямая, которая никуда не отображается, и прямая, в которую ничего не переходит при центральном проектировании


Если рассматривается цепочка последовательных проекций, то количество таких исключений все время возрастает. Чтобы их не учитывать, удобно расширить плоскость: к каждой прямой присоединяется одна бесконечно удаленная точка; считается, что в этой точке пересекаются все прямые, параллельные данной прямой. Такая дополненная прямая топологически эквивалентна окружности: идя по ней все время в одну сторону, можно вернуться назад (пройдя через бесконечно удаленную точку). Все бесконечно удаленные точки образуют бесконечно удаленную прямую. Аффинные преобразования можно рассматривать как частный случай проективных: а именно, как такие проективные преобразования, при которых бесконечно удаленная прямая переходит в себя.

Плоскость с присоединенной к ней бесконечно удаленной прямой образует проективную плоскость. Топологические свойства этой плоскости не так уж наглядны: она, например, является односторонней поверхностью. Фактически, проективные преобразования суть преобразования проективной плоскости.

При проективных преобразованиях окружность переходит в эллипсы, гиперболы, параболы, а они – друг в друга. Это, фактически, следует из определения этих фигур как конических сечений: если две фигуры суть сечения конической поверхности двумя плоскостями, то, значит, одно из них является проекцией другого с центром в вершине конуса.

Рис. 4. Окружность, эллипс, гипербола и парабола как сечения одного и того же конуса


Вообще говоря, центральное проектирование не сохраняет углов. С помощью центрального проектирования можно перевести любой четырехугольник в любой другой. В отличие от параллельного, центральное проектирование нарушает отношение двух отрезков, даже лежащих на одной прямой (если только они не параллельны линии пересечения плоскостей π и π'). Тем не менее, оно сохраняет некоторые комбинации отношений отрезков. Пусть центральное проектирование из точки O переводит точки AB и C, лежащие на одной прямой, в точки A'B' и C'. Тогда:

аналогично:
 и 


Рис. 5. Центральное проектирование сохраняет некоторые комбинации отношений отрезков


Из этого факта вытекают два следствия.

1.

Пусть точка D также принадлежит прямой AB и при проектировании переходит в точку D'. Тогда, аналогично, имеем:

 и 

Выражение называется двойным или сложным отношением. Если двойное отношение то говорят, что четверка ABCD – гармоническая, или что точки C и D гармонически разделяют точки A и B. Например: пусть ABN – треугольник, NC – биссектриса его внутреннего угла, а ND – внешнего. По известным свойствам биссектрис:
Таким образом, четверка ABCD – гармоническая.

Рис. 6. Гармоническая четверка


Мы доказали, что центральное проектирование сохраняет двойное отношение четырех точек, лежащих на одной прямой. Отсюда следует, что если четыре прямые, проходящие через одну точку, пересекаются с некоторой пятой прямой в точках ABCD, а с некоторой шестой прямой в точках A'B'C'D', то двойное отношение точек ABCD и точек A'B'C'D' совпадает. Это отношение характеризует сами четыре прямые как таковые безотносительно к тому, что их пересекает: оно зависит лишь от углов, образуемых этими прямыми друг с другом. Поэтому можно говорить о двойном отношении четырех прямых, проходящих через одну точку: под этим понимается двойное отношение четырех точек пересечения данных четырех прямых с любой пересекающей их пятой. Если двойное отношение четырех прямых равно 1, четверку этих прямых можно тоже назвать гармонической. Так, две стороны треугольника и биссектрисы его внутреннего и внешнего угла при общей вершине этих сторон образуют гармоническую четверку прямых.

2.

Если задан треугольник ABC, точка D принадлежит прямой (не обязательно отрезку) AB, точка E принадлежит прямой BC, точка F принадлежит прямой AC, точки ABCDEF переходят при проектировании с центром O в точки A'B'C'D'E'F' то

отсюда:

и, значит, выражение тоже сохраняется при центральном проектировании.

Вышеприведенные факты имеют место и для бесконечно удаленных точек; если C – бесконечно удаленная точка прямой AB, то отношение считается равным 1.

Проективная геометрия как особая наука о свойствах фигур, не меняющихся при проективных преобразованиях, родилась в России: французский военный инженер В. Понселе, участник похода Наполеона, сформулировал основные положения этой науки, находясь в плену в Саратове (1813–14). Вернувшись во Францию, Понселе опубликовал их в 1822 г. в «Трактате о проективных свойствах фигур». Но, разумеется, его идеи возникли не на пустом месте: у проективной геометрии богатая история. Некоторые ее теоремы были известны уже в Древней Греции. Различные свойства центральных проекций рассматривались в связи с проблемами оптики и с построениями картографических проекций, в частности, стереографической (Евклид, Птолемей).

В «Сферике» Менелая Александрийского, дошедшей до нас лишь в арабском переводе Сабита ибн Корры, приводится т. н. теорема о трансверсалях, или теорема Менелая: Пусть точки AB и C не лежат на одной прямой, точки D и E лежат соответственно на отрезках AB и BC, а F – на продолжении отрезка CA. Если точки D, E и F лежат на одной прямой, то:
Верно и обратное.

Модель 1. Теорема Менелая


Самому Менелаю эта теорема была нужна для того, чтобы вывести важную формулу сферической тригонометрии, которая приводится и в «Альмагесте» Птолемея. А именно, пусть точки A, B и C образуют не плоский, а сферический треугольник, при этом точки M, N и P лежат на больших кругах сферы с центром O, проходящих, соответственно, через точки A и B, B и C, C и A. Тогда если точки M, N и P лежат на одном большом круге, то выполняется соотношение (в современных обозначениях):

Этот факт Менелай доказывает, проецируя весь чертеж из центра сферы на плоскость ABC и применяя «плоскую» теорему о трансверсалях к этому чертежу.

Рис. 7. Доказательство теоремы Менелая


Что до «плоской» теоремы Менелая, то ее можно доказывать по-разному, в том числе используя свойства проективных преобразований: осуществим такую центральную проекцию чертежа, чтобы та прямая, в которую перейдет прямая DE, была бы бесконечно удаленной (для этого плоскость, на которую проектируется чертеж, должна быть параллельна плоскости ODE, где O – центр проекции). (Будем обозначать образы точек при проектировании теми же буквами, что и исходные точки, но со штрихами). Если F' лежит на той же прямой, то каждое из отношений будет равно 1, и их произведение, следовательно, тоже. Поскольку при проективных преобразованиях это произведение не меняется, то оно будет равно 1 и в исходном чертеже.

Пусть установлена теорема Менелая. Докажите обратную теорему.

Доказательство

В «Собрании» Паппа Александрийского приводится несколько «проективных» теорем, в частности, следующая (сейчас она называется теоремой Паппа). На прямой l расположены точки A1, B1 и C1, а на прямой m – точки A2, B2 и C2. Пусть отрезки A1B2 и A2B1 пересекаются в точке D, отрезки B1C2 и B2C1 – в точке E, отрезки C1A2 и C2A1 – в точке F. Тогда точки D, E и F лежат на одной прямой.

Модель 2. Теорема Папа


Попробуйте ее доказать, используя свойства проективных преобразований.

Доказательство