... Для того, чтобы установить правильность предложения в математике, его нужно доказать, каким бы очевидным оно ни казалось. А всякое доказательство состоит в том, что путем рассуждений сводим наше "новое" предложение к "старым", т.е. уже доказанным раньше. Поэтому и с предложениями получается такая же ситуация, как и с определениями: мы придем к "самым первым" предложениям, которые нельзя доказать, так как при их доказательстве не на что было бы ссылаться. Эти (как правило, самые простые) предложения называются аксиомами.

... Свойство предложения быть аксиомой или теоремой относительно: оно зависит от выбора той группы "самых первых" предложений, которая кладется в основу геометрии.

В математике, и не только в геометрии, изучается много различных аксиоматик; к ним, как к логическим схемам, предъявляются следующие логические требования:

1) Непротиворечивость (основное требование).

2) Независимость.

3) Полнота (иногда опускается).

Л.Н.Бескин. Стереометрия. Пособие для учителей средней школы [Бескин]

Формулировки из учебников

А. В. Погорелов. Геометрия: Учебник для 10 – 11 классов общеобразовательных учреждений [Погорелов10-11]
Аксиома . Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.

Аксиома . Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

Аксиома . Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну.

...Система аксиом стереометрии состоит из аксиом I-IX планиметрии и трех аксиом стереометрии .

Замечание. В планиметрии мы имели одну плоскость, на которой располагались все геометрические фигуры. В стеореометрии много, даже бесконечно много, плоскостей. В связи с этим формулировки некоторых аксиом стереометрии требуют уточнения.

Это относится к аксиомам IV, VII, VIII, IX.

Аксиома IV. Прямая, принадлежащая плоскости, разбивает эту плоскость на две полуплоскости.

Аксиома VII. От полупрямой на содержащей ее плоскости в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей , и только один.

Аксиома VIII. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в данной плоскости в заданном расположении относительно данной полупрямой в этой плоскости.

Аксиома IX. На плоскости через данную точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.

В.М.Клопский, З.А.Скопец, М.И.Ягодовский. Геометрия. Учебное пособие для 9 и 10 классов средней школы [КлопскийСкопецЯгодовский9-10]
В аксиомах стереометрии выражены основные свойства неопределямых понятий: точки, прямой, плоскости и расстояния.

Аксиома 1. Существует хотя бы одна прямая и хотя бы одна плоскость. Каждая прямая и каждая плоскость есть не совпадающее с пространством непустое множество точек.

Аксиома 2. Через любые две различные точки проходит одна и только одна прямая.

Аксиома 3. Прямая, проходящая через две различные точки плоскости, лежит в этой плоскости.

Аксиома 4. Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит одна и только одна плоскость.

Аксиома 5. Если две различные плоскости имеют общую точку, то их пересечение есть прямая.

Аксиома 6. Для любых двух точек и имеется неотрицательная величина, называемая расстоянием от до . Расстояние равно нулю в том и только в том случае, если точки и совпадают.

Аксиома 7. Расстояние от точки до точки равно расстоянию от точки до точки : .

Аксиома 8. Для любых трех точек , и расстояние от до не больше суммы расстояний от до и от до : .

Аксиома 9. Для каждой плоскости выполняются известные из планиметрии аксиомы порядка, подвижности плоскости и параллельных прямых.

Под пространством понимается множество всех точек.
Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Л. С. Киселева, Э. Г. Позняк. Геометрия: Учебник для 10 – 11 классов общеобразовательных учреждений [Атанасян10-11]
Основные свойства точек, прямых и плоскостей, касающиеся их взаимного расположения, выражены в аксиомах. Вся система аксиом стереометрии состоит изх ряда аксиом, большая часть которых нам знакома по курсу планиметрии... Сформулируем лишь три аксиомы о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей в пространстве. Ниже они обозначены , , .


Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.


Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.


Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

Полный список, состоящий из 20 аксиом, и некоторые следствия из них приведены в приложении 2 (стр.225).
А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик. Геометрия: учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений [АлександровВернерРыжик10-11]
...Геометрию на плоскости --- планиметрию --- мы считаем известной. Поэтому в стереометрии принимаем как определение: плоскостями называются фигуры, на которых выполняется планиметрия и для которых верны аксиомы стереометрии.

Аксиома 1. В пространстве существуют плоскости. Через каждые три точки пространства проходит плоскость.

Аксиома 2. Если две плоскости имеют общую точку, то их пересечение есть их общая прямая.

Аксиома 3. Если прямая проходит через две точки плоскости, то она лежит в этой плоскости.

Аксиома 4. Расстояние между любыми двумя точками пространства одно и то же на всех плоскостях, содержащих эти точки.

Аксиома 5. Каждая плоскость разбивает пространство на два полупространства, для которых она является общей границей.

А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик. Учебник для 10 класса школ с углубленным изучением математики [АлександровВернерРыжик10у]
...Геометрию на плоскости --- планиметрию --- мы считаем известной. Поэтому в стереометрии принимаем как определение: плоскостями называются фигуры, на которых выполняется планиметрия и для которых верны аксиомы стереометрии.

Аксиома 1. В пространстве существуют плоскости. Через каждые три точки пространства проходит плоскость.

Аксиома 2. Если две плоскости имеют общую точку, то их пересечение есть их общая прямая.

Аксиома 3. Если прямая проходит через две точки данной плоскости, то она лежит в этой плоскости.

Аксиома 4. Каждая плоскость разбивает пространство на два полупространства.

Аксиома 5. Расстояние между любыми двумя точками пространства не зависит от того, на какой плоскости, содержащей эти точки, оно измерено.

И. М. Смирнова. Геометрия. 10-11 классы: Учебник для общеобразовательных учреждений (гуманитарный профиль) [Смирнова10-11гум]
Так же как в планиметрии, некоторые свойства точек, прямых и плоскостей в пространстве принимаются без доказательства и называются аксиомами. Сформулируем следующие аксиомы стереометрии:

1. Через любые две точки пространства проходит единственная прямая.

2. Через любые три точки пространства, не принадлежащие одной прямой, проходит единственная плоскость.

3. Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой.

4. Существуют по крайней мере четыре точки, не принадлежащие одной плоскости.

5. Для прямых и плоскостей в пространстве выполняются аксиомы планиметрии.

И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10 – 11 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений [СмирноваСмирнов10-11]
Так же как в планиметрии, некоторые свойства точек, прямых и плоскостей в пространстве принимаются без доказательства и называются аксиомами. Сформулируем следующие аксиомы стереометрии:

1. Через любые две точки пространства проходит единственная прямая.

2. Через любые три точки пространства, не принадлежащие одной прямой, проходит единственная плоскость.

3. Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой.

4. Существуют по крайней мере четыре точки, не принадлежащие одной плоскости.

5. Для прямых и плоскостей в пространстве выполняются аксиомы планиметрии.

Е. В. Потоскуев, Л. И. Звавич. Геометрия 10 класс: учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики [ПотоскуевЗвавич10у]
Пространство --- это множество, элементами которого являются точки и в котором выполняется система аксиом стеореометрии, описывающая свойства точек, прямых и плоскостей.

Аксиома . В пространстве существуют плоскости. В каждой плоскости пространства выполняются все аксиомы планиметрии.

Аксиома (аксиома плоскости). Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.

Аксиома . Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.

Аксиома (аксиома прямой и плоскости). Если прямая проходит через две точки плоскости, то она лежит в этой плоскости.

Аксиома (аксиома пересечения плоскостей). Если две плоскости имеют общую точку, то пересечение этих плоскостей есть их общая прямая.

Аксиома (аксиома разбиения пространства плоскостью). Любая плоскость разбивает множество не принадлежащих ей точек пространства на два непустых множества так, что а) любые две точки, принадлежащие разным множествам, разделены плоскость ; б) любые две точки, принадлежащие одному и тому же множеству, не разделены плоскостью .

Аксиома (аксиома расстояния). Расстояние между любыми двумя точками пространства одно и то же на любой плоскости, проходящей через эти точки.

И. Ф. Шарыгин. Геометрия 10-11 классы: Учебник для общеобразовательных учебных заведений [Шарыгин10-11]
Термина "аксиома" в учебнике нет. Формулируется, что
в пространстве, как и на плоскости, имеются точки и прямые. Как и на плоскости, через две точки в постранстве проходит единственная прямая. Но кроме точек и прямых в пространстве имеются еще и плоскости. В каждой плоскости выполняются все утверждения планиметрии --- геометрии на плоскости.

Далее формулируются два основных свойства трехмерного пространства.

Первое основное свойство. Для любых трех точек пространства, не лежащих на одной прямой, существует единственная содержащая их плоскость.

Второе основное свойство. Любая плоскость делит пространство на две части --- два полупространства.

А. П. Киселев, Н. А. Рыбкин. Геометрия: Стереометрия: 10 – 11 классы: Учебник и задачник [Киселев10-11]
... Свойства плоскости, которые принимаются без доказательства, т.е. являются аксиомами:

1) Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и каждая точка этой порямой принадлежит плоскости.

2) Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

3) Через всякие три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.

В конце учебника аксиоматический метод изложен более подробно в дополнении: "Об аксиомах геометрии".

Сравнения формулировок

"Если две различные точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости" --- В рассматриваемых учебниках это аксиома.
"Если две различные точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости" --- В рассматриваемых учебниках это теорема.
"Каждая плоскость разбивает пространство на два полупространства" --- в рассматриваемых учебниках это аксиома.
"Каждая плоскость разбивает пространство на два полупространства" --- в рассматриваемых учебниках это теорема.