Пусть --- прямая в пространстве. Рассмотрим отображение пространства на себя, при котором каждая точка прямой остается на месте, а каждая точка , не лежащая на этой прямой переходит в точку плоскости , проходящей через перпендикулярно прямой , и при этом точка есть образ точки при повороте плоскости на угол вокруг точки пересечения плоскости с прямой . Это отображение называется поворотом пространства на угол вокруг прямой .

Можно доказать, что поворот вокруг прямой есть движение, т.е. при этом повороте сохраняются расстояния между точками. Поэтому прямые переходят в прямые, отрезки --- в равные им отрезки, плоскости --- в плоскости.

Примеры фигур, которые переходят в себя при некотором повороте: сфера и шар переходят в себя при повороте на любой угол вокруг любой прямой, проходящей через их центр; прямой круговой цилиндр и прямой круговой конус переходят в себя при повороте на любой угол вокруг их оси; правильная -угольная пирамида переходит в себя при повороте на угол вокруг прямой, содержащей ее высоту. Аналогично для правильной призмы.

Математически верное определение

Поворотом вокруг прямой на угол называется такое отображение, при котором в каждой плоскости, перпендикулярной прямой , происходит поворот вокруг точки ее пересечения с прямой на один и тот же угол в одном и том же направлении. Прямая называется осью поворота, а угол --- углом поворота.

А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик. Учебник для 11 класса школ с углубленным изучением математики [АлександровВернерРыжик11у]

Определения из учебников

А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик. Геометрия: учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений [АлександровВернерРыжик10-11]
...Поворотом фигуры вокруг прямой на угол называется преобразование, которое осуществляется так: в каждой плоскости, перпендикулярной прямой и пересекающей фигуру, происходит поворот вокруг точки пересечения этой плоскости с прямой на угол в одном и том же направлении для всех плоскостей.

Прямая называется осью поворота, а угол --- углом поворота. Поворот задается осью, углом и направлением поворота в какой-нибудь плоскости, перпендикулярной оси.

А. В. Погорелов. Геометрия: Учебник для 10 – 11 классов общеобразовательных учреждений [Погорелов10-11]
Определения этого понятия в учебнике нет.
В.М.Клопский, З.А.Скопец, М.И.Ягодовский. Геометрия. Учебное пособие для 9 и 10 классов средней школы [КлопскийСкопецЯгодовский9-10]
Определения этого понятия в учебнике нет.
Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Л. С. Киселева, Э. Г. Позняк. Геометрия: Учебник для 10 – 11 классов общеобразовательных учреждений [Атанасян10-11]
Определения этого понятия в учебнике нет.
А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик. Учебник для 11 класса школ с углубленным изучением математики [АлександровВернерРыжик11у]
Поворотом вокруг прямой на угол называется такое отображение, при котором в каждой плоскости, перпендикулярной прямой , происходит поворот вокруг точки ее пересечения с прямой на один и тот же угол в одном и том же направлении. Прямая называется осью поворота, а угол --- углом поворота.
И. М. Смирнова. Геометрия. 10-11 классы: Учебник для общеобразовательных учреждений (гуманитарный профиль) [Смирнова10-11гум]
... Точка на плоскости получается из точки этой плоскости поворотом вокруг центра на угол , если и угол равен .

Пусть теперь в пространстве задана прямая и точка , не принадлежащая этой прямой. Через точку проведем плоскость , перпендикулярную прямой , и точку пересечения ( и ) обозначим . Говорят, что точка пространства получается из точки поворотом вокруг прямой на угол , если в плоскости точка получается из точки поворотом вокруг центра на угол .

Преобразование пространства, при котором точки прямой остаются на месте, а все остальные точки поворачиваются вокруг этой прямой (в одном и том же направлении) на угол , называется поворотом или вращением. Прямая при этом называется осью вращения.

И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10 – 11 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений [СмирноваСмирнов10-11]
... Точка на плоскости получается из точки этой плоскости поворотом вокруг центра на угол , если и угол равен .

Пусть теперь в пространстве задана прямая и точка , не принадлежащая этой прямой. Через точку проведем плоскость , перпендикулярную прямой , и точку пересечения и обозначим . Говорят, что точка пространства получается из точки поворотом вокруг прямой на угол , если в плоскости точка получается из точки поворотом вокруг центра на угол .

Преобразование пространства, при котором точки прямой остаются на месте, а все остальные точки поворачиваются вокруг этой прямой (в одном и том же направлении) на угол , называется поворотом или вращением. Прямая при этом называется осью вращения.

Е. В. Потоскуев, Л. И. Звавич. Геометрия 11 класс: учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики [ПотоскуевЗвавич11у]
Угол на плоскости считается ориентированным положительно, если поворот от к вокруг точки происходит против часовой стрелки, и ориентированным отрицательно, если этот поворот происходит по часовой стрелке.

Будем считать, что поворот в плоскости осуществляется на положительно ориентированный угол, если этот поворот наблюдается против часовой стрелки из любой точки оси аппликат, когда аппликата этой точки положительна (т.е. из любой точки положительной полуоси аппликат). Если же из любой точки положительной полуоси аппликат этот поворот наблюдается по часовой стрелке, то будем считать, что вращение в плоскости происходит на отрицательно ориентированный угол.

В таком случае, мы будем рассматривать преобразование вращения пространства вокруг ориентированной прямой
(т.е. вокруг оси), и всякий раз для определения угла поворота нам придется "смотреть" положительного направления оси вращения на плоскость, перпендикулярную этой оси. Однако это преобразование поворота часто называют просто "поворотом вокруг прямой", имея в виду поворот вокруг ориентированной прямой.

Поворотом пространства вокруг ориентированной прямой на угол назывется такое преобразование пространства, при котором любая точка прямой остается неподвижной и в любой плоскости, перпендикулярной прямой , индуцируется поворот этой плоскости на угол вокруг точки пересечения ее с прямой .

И. Ф. Шарыгин. Геометрия 10-11 классы: Учебник для общеобразовательных учебных заведений [Шарыгин10-11]
Определения этого понятия в учебнике нет.
А. П. Киселев, Н. А. Рыбкин. Геометрия: Стереометрия: 10 – 11 классы: Учебник и задачник [Киселев10-11]
Определения этого понятия в учебнике нет.
Определения этого понятия в учебнике нет, но в разделе "Оси симметрии высших порядков" (п.103) говорится, что "возможны случаи, когда фигура приходит к совмещению с исходным положением после поворота вокруг некоторой оси на угол, меньший . Таким образом, если тело сделает полный оборот вокруг этой оси, то в процессе вращения оно несколько раз совместится со своим первоначальным положением. Такая ось вращения называется осью симметрии высшего порядка, причем число положений тела, совпадающих с первоначальным, называется порядком оси симметрии".

Сравнения определений

Определения поворота пространства вокруг прямой в этих учебниках нет.
В учебнике А.П.Киселева приводятся рассуждения о симметриях -го порядка. В остальных учебниках определения поворота пространства вокруг прямой практически одинаковы.