"Что такое равные фигуры?" --- один из главных вопросов геометрии. Если фигура есть произвольное множество точек, а множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов, то, например, треугольники равны только в том случае, если они совпадают, т.е. треугольник может быть равен только самому себе. Понятно, что это не может нас устроить. Хотелось бы называть равными также фигуры которые можно "совместить наложением". Формальное определение равенства (лучше "конгруэнтности", хотя этот термин не привился в школе) такое:

Фигуры называются равными (конгруэнтными), если существует такое преобразование пространства, сохраняющее расстояния между любыми двумя точками, при котором одна их этих фигур переходит в другую. Такое преобразование пространства называется движением (в некоторых учебниках --- перемещением, а в высшей школе --- изометрией).

Всякое взаимно однозначное соответствие между точками фигур и называется преобразованием.

Движением называется такое преобразование пространства, в котором длина произвольного отрезка равна длине соответствующего отрезка .

Математически верное определение

Под движением пространства понимается отображение пространства на себя, при котором любые две точки и переходят (отображаются) в какие-то точки и так, что . Иными словами, движение пространства --- это отображение пространства на себя, сохраняющее расстояния между точками.

Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Л. С. Киселева, Э. Г. Позняк. Геометрия: Учебник для 10 – 11 классов общеобразовательных учреждений [Атанасян10-11]

Определения из учебников

А. В. Погорелов. Геометрия: Учебник для 10 – 11 классов общеобразовательных учреждений [Погорелов10-11]
...Движением в пространстве называется преобразование, при котором сохраняютcя расстояния между точками.
В.М.Клопский, З.А.Скопец, М.И.Ягодовский. Геометрия. Учебное пособие для 9 и 10 классов средней школы [КлопскийСкопецЯгодовский9-10]
Преобразование пространства, сохраняющее расстояния, называется перемещением.
Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Л. С. Киселева, Э. Г. Позняк. Геометрия: Учебник для 10 – 11 классов общеобразовательных учреждений [Атанасян10-11]
Под движением пространства понимается отображение пространства на себя, при котором любые две точки и переходят (отображаются) в какие-то точки и так, что . Иными словами, движение пространства --- это отображение пространства на себя, сохраняющее расстояния между точками.
А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик. Геометрия: учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений [АлександровВернерРыжик10-11]
Движением (как и в планиметрии) называется преобразование, сохраняющее расстояния. Подробнее: движением фигуры называется такое ее преобразование, при котором каждым двум ее точкам , соответствуют такие точки , , что
А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик. Учебник для 11 класса школ с углубленным изучением математики [АлександровВернерРыжик11у]
Движением фигуры называется такое ее отображение, при котором каждым двум ее точкам и соответствуют такие точки и , что . Короче:
движение --- это отображение, сохраняющее расстояния.
И. М. Смирнова. Геометрия. 10-11 классы: Учебник для общеобразовательных учреждений (гуманитарный профиль) [Смирнова10-11гум]
Движением называется преобразование пространства, сохраняющее расстояния между точками, т.е. переводящее любые две точки и в точки и так, что .
И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10 – 11 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений [СмирноваСмирнов10-11]
Движением называется преобразование пространства, сохраняющее расстояния между точками, т.е. переводящее любые две точки и в точки и так, что .
Е. В. Потоскуев, Л. И. Звавич. Геометрия 11 класс: учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики [ПотоскуевЗвавич11у]
Преобразование пространства, при котором сохраняются расстояния между любыми двумя точками, называется движением пространства.
И. Ф. Шарыгин. Геометрия 10-11 классы: Учебник для общеобразовательных учебных заведений [Шарыгин10-11]
В учебнике нет термина "движение".
А. П. Киселев, Н. А. Рыбкин. Геометрия: Стереометрия: 10 – 11 классы: Учебник и задачник [Киселев10-11]
В учебнике нет термина "движение", но в некоторых случаях говорится о "совмещении". Например: "Два двугранных угла называются равными, если они при вложении могут совместиться".

Сравнения определений

Вместо термина "движение" в учебнике В.М.Клопского, З.А.Скопеца, М.И.Ягодовского используется термин "перемещение". В предшествующем учебнике планиметрии
(под ред.А.Н.Колмогорова) использован тот же термин.