Пусть --- прямая в пространстве. Рассмотрим отображение пространства на себя, при котором каждая точка прямой остается на месте, а точка , не лежащая на этой прямой, переходит в такую точку , что прямая перпендикулярна отрезку и проходит через его середину.
Это отображение называется симметрией относительно прямой, или осевой симметрией пространства.

Можно доказать, что симметрия относительно прямой есть движение, т.е. при этой симметрии сохраняются расстояния между точками. Поэтому прямые переходят в прямые, отрезки --- в равные им отрезки, плоскости --- в плоскости.

Говорят, что фигура симметрична относительно некоторой прямой, если при симметрии относительно этой прямой фигура переходит сама в себя. Такая прямая называется осью симметрии фигуры. Например, сфера и шар симметричны относительно любой прямой, проходящей через их центр, прямой круговой цилиндр и прямой круговой конус симметричны относительно их оси, правильная -угольная пирамида при четном симметрична относительно прямой, содержащей ее высоту. Аналогично для правильной призмы.

Математически верное определение

Точки и называются симметричными относительно прямой (ось симметрии), если прямая проходит через середину отрезка и перпендикулярна к этому отрезку. Каждая точка прямой считается симметричной самой себе.

Прямая называется осью симметрии фигуры, если каждая точка фигуры симметрична относительно нее некоторой точке той же фигуры. Если фигура имеет ось симметрии, то говорят, что она обладает осевой симметрией.

Осевой симметрией с осью называется такое отображение пространства на себя, при котором любая точка переходит в симметричную ей точку относительно оси .

Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Л. С. Киселева, Э. Г. Позняк. Геометрия: Учебник для 10 – 11 классов общеобразовательных учреждений [Атанасян10-11]

Истроическая справка

Греч. --- соизмеримость. В обиходе: соразмерность, правильное соотношение частей. В древности понятия симметрии не существовало; в частности, у Евклида не рассмотрены свойства симметрии квадрата, ромба, прямоугольника, параллелограмма и правильных тел. В "Элементах геометрии" Лежандра (1752-1833) впервые введено понятие симметрии (многогранников относительно плоскости); рассматривается два вида равенства; доказана теорема: "Если симметричен , а --- , то конгруэнтен ".

Л.Н.Бескин. Стереометрия. Пособие для учителей средней школы [Бескин]

Определения из учебников

А. В. Погорелов. Геометрия: Учебник для 10 – 11 классов общеобразовательных учреждений [Погорелов10-11]
Определения этого понятия в учебнике нет.
Определения этого понятия в учебнике нет, но на стр.45 сказано, что "так же как и на плоскости, определяются проеобразования симметрии относительно точки и прямой".
В.М.Клопский, З.А.Скопец, М.И.Ягодовский. Геометрия. Учебное пособие для 9 и 10 классов средней школы [КлопскийСкопецЯгодовский9-10]
Точки и называются симметричными относительно прямой , если отрезок перпендикулярен и делится этой прямой пополам. Любая точка прямой считается симметричной самой себе.

Преобразование пространства, при котором каждая точка отображается на симметричную ей точку относительно данной прямой, называется осевой симметрией. Данную прямую называют осью симметрии.

Если при осевой симметрии с осью точка является образом точки , то записывают: . Запись означает, что при симметрии с осью фигура отображается на фигуру .

Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Л. С. Киселева, Э. Г. Позняк. Геометрия: Учебник для 10 – 11 классов общеобразовательных учреждений [Атанасян10-11]
Точки и называются симметричными относительно прямой (ось симметрии), если прямая проходит через середину отрезка и перпендикулярна к этому отрезку. Каждая точка прямой считается симметричной самой себе.

Прямая называется осью симметрии фигуры, если каждая точка фигуры симметрична относительно нее некоторой точке той же фигуры. Если фигура имеет ось симметрии, то говорят, что она обладает осевой симметрией.

Осевой симметрией с осью называется такое отображение пространства на себя, при котором любая точка переходит в симметричную ей точку относительно оси .

А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик. Геометрия: учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений [АлександровВернерРыжик10-11]
На стр.178 учебника сказано, что осевая симметрия определяется так же, как на плоскости.
А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик. Учебник для 11 класса школ с углубленным изучением математики [АлександровВернерРыжик11у]
При повороте вокруг прямой на каждая точка , не лежащая на оси поворота , переходит в такую точку , что прямая перпендикулярна отрезку и пересекает его в середине. Про такие точки говорят (как и в планиметрии), что они симметричны относительно прямой .
И. М. Смирнова. Геометрия. 10-11 классы: Учебник для общеобразовательных учреждений (гуманитарный профиль) [Смирнова10-11гум]
Точки и пространства называются симметричными относительно прямой , если прямая проходит через середину отрезка и перпендикулярна этому отрезку. Прямая при этом называется осью симметрии.

Фигура в пространстве назывется симметричной относительно оси , если каждая точка фигуры симметрична относительно этой оси некоторой точке фигуры .

И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10 – 11 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений [СмирноваСмирнов10-11]
Точки и пространства называются симметричными относительно прямой , называемой осью симметрии, если прямая проходит через середину отрезка и перпендикулярна этому отрезку. Точки прямой считаются симметричными сами себе.

Фигура в пространстве назывется симметричной относительно оси , если каждая точка фигуры симметрична относительно этой оси некоторой точке фигуры .

Е. В. Потоскуев, Л. И. Звавич. Геометрия 11 класс: учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики [ПотоскуевЗвавич11у]
Поворот вокруг оси на угол называется осевой симметрией пространства и обозначается . Ось вращения называется осью симметрии. Таким образом .

Осевую симметрию можно изучать и вне связи с поворотом вокруг оси.

Точка пространства называется симметричной точке относительно прямой , если отрезок перпендикулярен прямой и делится этой прямой пополам. Каждая точка прямой считается симметричной самой себе относительно этой прямой.

Преобразование пространства, при котором каждая точка отображается на точку, симметричную ей относительно прямой , называется осевой симметрией пространства относительно прямой . Образом любой точки прямой считается сама эта точка.

Прямая называется осью симметрии.

Осевая симметрия пространства с осью обозначается . Если точка (фигура ) осевой симметрией отображается на точку (фигуру ) то пишут: ().

Если при симметрии относительно прямой фигура отображается на себя, то прямую называют осью симметрии фигуры.

И. Ф. Шарыгин. Геометрия 10-11 классы: Учебник для общеобразовательных учебных заведений [Шарыгин10-11]
Оределения этого понятия в учебнике нет.
А. П. Киселев, Н. А. Рыбкин. Геометрия: Стереометрия: 10 – 11 классы: Учебник и задачник [Киселев10-11]
Две фигуры называются симметричными относительно оси (ось --- прямая линия), если каждой точке первой фигуры соответствует точка второй фигуры, так что отрезок перпендикулярен к оси , пересекается с нею и в точке пересечения делится пополам.

Сравнения определений

Определения симметрии относительно прямой в этих учебниках нет.
В этих учебниках осевая симметрия определяется как поворот пространства на угол .
В учебнике А.П.Киселева есть только определение пространственных фигур, симметричных относительно данной прямой. В остальных рассматриваемых учебниках определения осевой симметрии практически одинаковы.