Пусть --- точка в пространстве. Рассмотрим отображение пространства на себя, при котором точка остается на месте, а любая другая точка переходит в такую точку , что --- середина отрезка . Такое отображение называется симметрией относительно точки, или центральной симметрией.

Можно доказать, что центральная симметрия есть движение, т.е. при этой симметрии сохраняются расстояния между точками. Поэтому прямые переходят в прямые, отрезки --- в равные им отрезки, плоскости --- в плоскости.

Говорят, что фигура симметрична относительно некоторой точки (центрально-симметричная фигура), если при симметрии относительно этой точки фигура переходит сама в себя. Такая точка называется центром симметрии фигуры. Например, сфера и шар симметричны относительно их центра, прямой круговой цилиндр симметричен относительно середины отрезка, соединяющего центры оснований, правильная -угольная призма при нечетном симметрична относительно середины отрезка, соединяющего центры оснований.

Заметим, что в отличие от плоскости, центральная симметрия в пространстве не сводится к механическому движению. Например, параллелепипед симметричен относительно точки пересечения диагоналей, но две центрально-симметричные его части, на которые параллелепипед разбивается диагональной плоскостью, невозможно совместить механическим движением.

Математически верное определение

Точки и называются симметричными относительно точки (центр симметрии), если --- середина отрезка . Точка считается симметричной самой себе. Точка называется центром симметрии фигуры, если каждая точка фигуры симметрична относительно нее некоторой точке той же фигуры. Если фигура имеет центр симметрии, то говорят, что она обладает центральной симметрией.

...Центральная симметрия --- отображение пространства на себя, при котором любая точка переходит в симметричную ей точку относительно данного центра .

Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Л. С. Киселева, Э. Г. Позняк. Геометрия: Учебник для 10 – 11 классов общеобразовательных учреждений [Атанасян10-11]

Истроическая справка

Греч. --- соизмеримость. В обиходе: соразмерность, правильное соотношение частей. В древности понятия симметрии не существовало; в частности, у Евклида не рассмотрены свойства симметрии квадрата, ромба, прямоугольника, параллелограмма и правильных тел. В "Элементах геометрии" Лежандра (1752-1833) впервые введено понятие симметрии (многогранников относительно плоскости); рассматривается два вида равенства; доказана теорема: "Если симметричен , а --- , то конгруэнтен ".

Л.Н.Бескин. Стереометрия. Пособие для учителей средней школы [Бескин]

Определения из учебников

А. В. Погорелов. Геометрия: Учебник для 10 – 11 классов общеобразовательных учреждений [Погорелов10-11]
Определения этого понятия в учебнике нет.
Определения этого понятие в учебнике нет, но на стр.45 сказано, что "так же как и на плоскости, определяются проеобразования симметрии относительно точки и прямой".
В.М.Клопский, З.А.Скопец, М.И.Ягодовский. Геометрия. Учебное пособие для 9 и 10 классов средней школы [КлопскийСкопецЯгодовский9-10]
Точки и называются симметричными относительно точки , если точка является серединой отрезка . Центр считается симметричным самому себе.

Каждой точке пространства поставим в соответствие симметричную ей точку относительно данного центра . Получим отображение пространства на себя, называемое центральной симметрией.

Центральную симметрию с центром будем обозначать .

Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Л. С. Киселева, Э. Г. Позняк. Геометрия: Учебник для 10 – 11 классов общеобразовательных учреждений [Атанасян10-11]
Точки и называются симметричными относительно точки (центр симметрии), если --- середина отрезка . Точка считается симметричной самой себе. Точка называется центром симметрии фигуры, если каждая точка фигуры симметрична относительно нее некоторой точке той же фигуры. Если фигура имеет центр симметрии, то говорят, что она обладает центральной симметрией.

...Центральная симметрия --- отображение пространства на себя, при котором любая точка переходит в симметричную ей точку относительно данного центра .

А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик. Геометрия: учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений [АлександровВернерРыжик10-11]
Точки и называются симметричными относительно точки , если делит отрезок пополам. Точка считается симметричной самой себе.

Две фигуры называются симметричными относительно точки , если они состоят и попарно симметричных точек. Это значит, что для каждой точки одной фигуры симметричная ей (относительно ) точка лежит в другой фигуре. В частности, фигура может симметрична самой себе относительно некоторой точки . Это значит, что для каждой ее точки точка , симметричная относительно , лежит в ней же. Точка называется тогда центром симметрии фигуры, а фигура называется центрально-симметричной.

Цетральной симметрией фигуры с центром называется такое преобразование этой фигуры, которое сопоставляет каждой ее точке точку, симметричную относительно .

Симметрией фигуры вообще называется свойство фигуры, состоящее в том, что существует движение, совмещающее ее саму с собой.

А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик. Учебник для 11 класса школ с углубленным изучением математики [АлександровВернерРыжик11у]
Точки и называются симметричными относительно точки , если она делит отрезок пополам. Точка считается симметричной самой себе (относительно ).

Две фигуры называются симметричными относительно точки , если они состоят и попарно симметричных точек, т.е. если для каждой точки одной фигуры есть симметричная ей относительно точка в другой фигуре и обратно. В частности, фигура может симметрична самой себе относительно некоторой точки . Тогда для каждой ее точки есть точка, симметричная относительно . Эта точка называется центром симметрии фигуры, а фигура --- центрально-симметричной.

Центральной симметрией фигуры фигуры с центром называется такое отображение этой фигуры, которое сопоставляет каждой ее точке точку, симметричную относительно .

Симметрией фигуры вообще называется свойство фигуры, состоящее в том, что существует движение, совмещающее ее саму с собой.

И. М. Смирнова. Геометрия. 10-11 классы: Учебник для общеобразовательных учреждений (гуманитарный профиль) [Смирнова10-11гум]
Точки и называются симметричными относительно точки , если является серединой отрезка . Точка называется центром симметрии.

Фигура в пространстве называется центрально-симметричной относительно точки , если каждая точка фигуры симметрична относительно точки некоторой точке фигуры .

И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10 – 11 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений [СмирноваСмирнов10-11]
Точки и пространства называются симметричными относительно точки , называемой центром симметрии, если является серединой отрезка . Точка считается симметричной самой себе.

Фигура в пространстве называется центрально-симметричной относительно точки , если каждая точка фигуры симметрична относительно точки некоторой точке фигуры .

Е. В. Потоскуев, Л. И. Звавич. Геометрия 11 класс: учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики [ПотоскуевЗвавич11у]
Точка называется симметричной точке относительно точки , если точка делит отрезок пополам. Точка считается симметричной самой себе.

Преобразование пространства, при котором каждая точка пространства отображается на точку, симметричную ей относительно точки , называется центральной симметрией пространства относительно точки . При этом точка отображается сама на себя и называется центром симметрии.

Будем обозначать центральную симметрию пространства с центром символом . Если при этой симметрии точка отображается на точку , то пишут: или .

И. Ф. Шарыгин. Геометрия 10-11 классы: Учебник для общеобразовательных учебных заведений [Шарыгин10-11]
Определения этого понятия в учебнике нет.
Определения этого понятия в учебнике нет, но на стр.71 сказано, что точка пересечения диагоналей параллелепипеда является центром симметрии параллелепипеда, или просто центром параллелепипеда.
А. П. Киселев, Н. А. Рыбкин. Геометрия: Стереометрия: 10 – 11 классы: Учебник и задачник [Киселев10-11]
Две фигуры называются симметричными относительно какой-нибудь точки пространства, если каждой точке одной фигуры соответствует в другой фигуре точка , расположенная на прямой по другую сторону от точки . Точка называется центром симметрии фигуры.

Если симметричные фигуры составляют в совокупности одно геометрическое тело, то говорят, что это геометрическое тело имеет центр симметрии. Таким образом, если данное тело имеет центр симметрии, то всякой точке, принадлежащей этому телу, соответствует симметричная точка, тоже принадлежащая данному телу.

Сравнения определений

В учебниках В.М.Клопского, З.А.Скопеца, М.И.Ягодовского и
Е.В.Потоскуева, Л.И.Звавича, а также в учебнике Л.С.Атанасяна, В. Ф. Бутузова, С.Б.Кадомцева, Л.С.Киселева, Э.Г.Позняка центральная симметрия рассматривается как отображение всего пространства, а в учебниках А.Д.Александрова, А.Л. Вернера, В.И. Рыжика --- как отображение фигуры.
Определения центральной симметрии в этих учебниках нет.