Рассмотрим произвольную плоскость в пространстве и такое отображение пространства на себя, при котором каждая точка этой плоскости остается на месте, а точка , не принадлежащая , переходит в такую точку , что плоскость перпендикулярна отрезку и проходит через его середину. Это отображение называется симметрией пространства относительно плоскости .

Можно доказать, что симметрия относительно плоскости есть движение, т.е. при этой симметрии сохраняются расстояния между точками. Поэтому прямые переходят в прямые, отрезки --- в равные им отрезки, плоскости --- в плоскости.

Говорят, что фигура симметрична относительно некоторой плоскости, если при симметрии относительно этой плоскости фигура переходит сама в себя. Такая плоскость называется плоскостью симметрии фигуры. Например, сфера и шар симметричны относительно любой плоскости, проходящей через их центр, прямой круговой цилиндр и прямой круговой конус симметричны относительно любой плоскости, проходящей через их ось, правильная -угольная пирамида при четном симметрична относительно любой плоскости, проходящей через
ее высоту и наибольшую диагональ основания. Аналогично для правильной призмы.

Математически верное определение

Пусть --- произвольная фиксированная плоскость. Из точки фигуры опускаем перпендикуляр на плоскость и на его продолжении за точку откладываем отрезок , равный . Точка называется симметричной точке относительно плоскости , а преобразование, которое переводит точку в симметричную ей точку , называется преобразованием симметрии относительно плоскости .

Если точка лежит в плоскости , то считается, что точка переходит в себя.

Если преобразование симметрии относительно плоскости переводит фигуру в себя, то фигура называется симметричной относительно плоскости , а плоскость называется плоскостью симметрии этой фигуры.

А. В. Погорелов. Геометрия: Учебник для 10 – 11 классов общеобразовательных учреждений [Погорелов10-11]

Истроическая справка

Греч. --- соизмеримость. В обиходе: соразмерность, правильное соотношение частей. В древности понятия симметрии не существовало; в частности, у Евклида не рассмотрены свойства симметрии квадрата, ромба, прямоугольника, параллелограмма и правильных тел. В "Элементах геометрии" Лежандра (1752-1833) впервые введено понятие симметрии (многогранников относительно плоскости); рассматривается два вида равенства; доказана теорема: "Если симметричен , а --- , то конгруэнтен ".

Л.Н.Бескин. Стереометрия. Пособие для учителей средней школы [Бескин]

Определения из учебников

А. В. Погорелов. Геометрия: Учебник для 10 – 11 классов общеобразовательных учреждений [Погорелов10-11]
Пусть --- произвольная фиксированная плоскость. Из точки фигуры опускаем перпендикуляр на плоскость и на его продолжении за точку откладываем отрезок , равный . Точка называется симметричной точке относительно плоскости , а преобразование, которое переводит точку в симметричную ей точку , называется преобразованием симметрии относительно плоскости .

Если точка лежит в плоскости , то считается, что точка переходит в себя.

Если преобразование симметрии относительно плоскости переводит фигуру в себя, то фигура называется симметричной относительно плоскости , а плоскость называется плоскостью симметрии этой фигуры.

В.М.Клопский, З.А.Скопец, М.И.Ягодовский. Геометрия. Учебное пособие для 9 и 10 классов средней школы [КлопскийСкопецЯгодовский9-10]
Точки и называются симметричными относительно плоскости , если отрезок перпендикулярен этой плоскости и делится ею пополам. Любая точка плоскости считается симметричной самой себе.

Преобразование пространства, при котором каждая точка отображается на симметричную ей точку относительно данной плоскости, называется симметрией относительно этой плоскости.

Симметрию относительно плоскости обозначают . Если симметрия точку (фигуру ) отображает на точку (фигуру ) то записывают: , .

Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Л. С. Киселева, Э. Г. Позняк. Геометрия: Учебник для 10 – 11 классов общеобразовательных учреждений [Атанасян10-11]
Точки и называются симметричными относительно плоскости (плоскость симметрии), если плоскость проходит через середину отрезка и перпендикулярна к этому отрезку. Каждая точка плоскости считается симметричной самой себе.

Плоскость называется плоскостью симметрии фигуры, если каждая точка фигуры симметрична относительно нее некоторой точке той же фигуры. Если фигура имеет плоскость симметрии, то говорят, что она обладает зеркальной симметрией.

Зеркальной симметрией (симметрией относительно плоскости ) называется такое отображение пространства на себя, при котором любая точка переходит в симметричную ей относительно плоскости точку .

А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик. Геометрия: учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений [АлександровВернерРыжик10-11]
Точки и называются симметричными относительно плоскости , если отрезок перпендикулярен и делится ею пополам. Каждая точка плоскости считается симметричной самой себе (относительно ).

Две фигуры называются симметричными относительно плоскости (или зеркально-симметричными относительно ), если они состоят из попарно симметричных точек. Это значит, что для каждой точки одной фигуры симметричная ей (относительно ) точка лежит в другой фигуре.

В частности, фигура может быть симметрична самой себе относительно некоторой плоскости . Это значит, что для каждой ее точки точка , симметричная относительно , лежит в ней же. Плоскость называется тогда плоскостью симметрии фигуры, а фигура называется зеркально-симметричной.

А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик. Учебник для 10 класса школ с углубленным изучением математики [АлександровВернерРыжик10у]
Точки и называются симметричными относительно плоскости , если отрезок перпендикулярен плоскости и делится ею пополам. Каждая точка плоскости считается симметричной самой себе (относительно плоскости ).

Две фигуры называются симметричными относительно плоскости (или зеркально-симметричными относительно плоскости ), если они состоят из попарно симметричных точек. Это значит, что для каждой точки одной фигуры симметричная ей (относительно ) точка лежит в другой фигуре и наоборот, точки, симметричные точкам второй фигуры, лежат в первой фигуре.

В частности, фигура может быть симметрична сама себе относительно некоторой плоскости . Это значит, что для каждой ее точки точка , симметричная относительно , лежит в ней же. Плоскость называется тогда плоскостью симметрии фигуры, а фигура называется зеркально-симметричной.

И. М. Смирнова. Геометрия. 10-11 классы: Учебник для общеобразовательных учреждений (гуманитарный профиль) [Смирнова10-11гум]
Точки и пространства называются симметричными относительно плоскости , если эта плоскость проходит через середину отрезка и перпендикулярна к нему. Плоскость при этом называется плоскостью симметрии.

Симметрия относительно плоскости называется также зеркальной симметрией.

Фигура в пространстве назывется зеркально-симметричной относительно плоскости , если каждая точка фигуры симметрична относительно этой плоскости некоторой точке фигуры .

И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10 – 11 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений [СмирноваСмирнов10-11]
Точки и в пространстве называются симметричными относительно плоскости , называемой плоскостью симметрии, если эта плоскость проходит через середину отрезка и перпендикулярна к нему. Точки плоскости считаются симметричными сами себе.

Симметрия относительно плоскости называется также зеркальной симметрией.

Фигура в пространстве назывется зеркально-симметричной относительно плоскости , если каждая точка фигуры симметрична относительно этой плоскости некоторой точке фигуры .

Е. В. Потоскуев, Л. И. Звавич. Геометрия 10 класс: учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики [ПотоскуевЗвавич10у]
Точка пространства, не лежащая на плоскости , называется симметричной точке относительно плоскости , если отрезок перпендикулярен этой плоскости и делится ею пополам. Любая точка плоскости считается симметричной самой себе относительно этой плоскости.

Преобразование пространства, при котором каждая точка пространства отображается на точку, симметричную ей относительно плоскости , называется симметрией пространства относительно плоскости . Плоскость называется плоскостью симметрии.

Симметрия относительно плоскости обозначается . Если при этой симметрии точка (фигура ) отображается на точку (фигуру ) то записывают: ().

И. Ф. Шарыгин. Геометрия 10-11 классы: Учебник для общеобразовательных учебных заведений [Шарыгин10-11]
Определения этого понятия в учебнике нет.
А. П. Киселев, Н. А. Рыбкин. Геометрия: Стереометрия: 10 – 11 классы: Учебник и задачник [Киселев10-11]
Две пространственные фигуры называются симметричными относительно плоскости , если каждой точке в одной фигуре соответствует в другой точка , причем отрезок перпендикулярен к плоскости и в точке пересечения с данной плоскостью делится пополам.

Если какое-нибудь геометрическое тело можно разбить на две части, симметричные относительно некоторой плоскости, то эта плоскость называется плоскостью симметрии данного тела.

Сравнения определений

В учебнике И.Ф.Шарыгина определения симметрии относительно плоскости нет. В остальных учебника определения практически одинаковы.