В школе, как правило, изучается прямой круговой конус, т.е. фигура, полученная вращением прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей катет.

Произвольный конус можно определить как геометрическое место точек, принадлежащих всем отрезкам, один конец которых есть некоторая точка (вершина конуса), не лежащая в данной плоскости, а второй принадлежит некоторой фигуре (основанию конуса), лежащей в этой плоскости. Если эта фигура --- окружность (или круг), то конус называется круговым. Если прямая, проведенная через вершину кругового конуса перпендикулярно плосокости основания, проходит через центр окружности основания, то получается прямой круговой конус. Эта прямая называется осью конуса.

Если основание конуса --- многоугольник, то получаем пирамиду как частный случай конуса.

Математически верное определение

...Пусть в некоторой плоскости задана какая-нибудь фигура , не лежащая на одной прямой, а вне этой плоскости --- точка . Фигура, образованная всевозможными отрезками , соединяющими точку с точками фигуры , называется конусом с вершиной и основанием .

Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками его основания, называются образующими конуса.

Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из вершины конуса на плоскость его основания, а также длина этого перпендикуляра.

Прямым круговым конусом или конусом вращения называется конус, основание которого --- круг, а высота попадает в центр этого круга, т.е. центр оказывается проекцией вершины конуса на основание. Высота конуса вращения назывется также его осью.

Прямой круговой конус является объединением всех равных друг другу прямоугольных треугольников, имеющих общий катет. Поэтому можно сказать, что он получен вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов --- оси конуса.

Фигура, состоящая из тех образующих конуса вращения, которые соединяют его вершину с окружностью основания, называется боковой поверхностью этого конуса. Поверхностью конуса вращения называется объединение его основания и его боковой поверхности.

А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик. Учебник для 10 класса школ с углубленным изучением математики [АлександровВернерРыжик10у]

Комментарий

Конусом иногда также назыают фигуру, состоящую из точек не отрезков, но ПРЯМЫХ, соединяющих вершину конуса с точками основания.

Истроическая справка

Греч. (конос) --- конус, сосновая шишка, остроконечная верхушка шлема или шишак. Лат. (заимствовано) . Античный термин.

У Евклида --- вращение прямоугольного треугольника вокруг катета. У Аполлония --- движение образующей вдоль круговой направляющей. У Кавальери --- то же; в случае произвольной направляющей получается коника.

Л.Н.Бескин. Стереометрия. Пособие для учителей средней школы [Бескин]

Определения из учебников

А. В. Погорелов. Геометрия: Учебник для 10 – 11 классов общеобразовательных учреждений [Погорелов10-11]
Конусом (точнее, круговым конусом) называется тело, которое состоит из круга --- основания конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга, --- вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками окружности основания. Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими конуса. Поверхность конуса состоит из основания и боковой поверхности.

Конус называется прямым, если прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания. В дальнейшем мы будем рассматривать только прямой конус, называя его для краткости просто конусом. Наглядно прямой круговой конус можно представлять себе как тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг его катета как оси.

Высотой конуса называют перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания. У прямого конуса основание высоты совпадает с центром основания. Осью прямого кругового конуса называется прямая, содержащая его высоту.

Если образующие боковой поверхности конуса неограниченно продолжить в обе стороны, то получится коническая поверхность, которая состоит из всех прямых (образующих), проходящих через данную точку , которые пересекают данную окружность. При этом окружность можно заменить любой другой линией. Тогда получится коническая поверхность общего вида. Но мы будем рассматривать только коническую поверхность, направляющей для которой является окружность, и будем называть ее полным конусом. Точка --- вершина полного конуса --- делит его на две полы.

В.М.Клопский, З.А.Скопец, М.И.Ягодовский. Геометрия. Учебное пособие для 9 и 10 классов средней школы [КлопскийСкопецЯгодовский9-10]
Фигура, полученная при вращении прямоугольного треугольника вокруг оси, содержащей его катет, называется конусом.

При вращении вокруг той же оси ломаной, составленной из гипотенузы и катета, не лежащего на оси вращения, получим фигуру, которая называется поверхностью конуса.

Такие понятия как основание, боковая поверхность, высота и образующая конуса были введены в VIII классе.
Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Л. С. Киселева, Э. Г. Позняк. Геометрия: Учебник для 10 – 11 классов общеобразовательных учреждений [Атанасян10-11]
Рассмотрим окружность с центром , и прямую , перпендикулярную к плоскости этой окружности. Через точку и каждую точку окружности проведем прямую. Поверхность, образованная этими прямыми, называется конической поверхностью, а сами прямые --- образующими конической поверхности. Точка назывется вершиной, а прямая --- осью конической поверхности.

Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей , называется конусом. Круг назывется основанием конуса, вершина конической поверхности ---вершиной конуса, отрезки образующих, заключенные между вершиной и основанием, --- образующими конуса, а образованная ими часть конической поверхности --- боковой поверхностью конуса. Ось конической поверхности называется осью конуса, а ее отрезок, заключенный между вершиной и основанием, --- высотой конуса.

Конус может быть получен вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов.

Рассматривается только прямой круговой конус.
А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик. Геометрия: учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений [АлександровВернерРыжик10-11]
Пусть даны плоская фигура и некоторая точка , не лежащая с фигурой в одной плоскости. Отрезки, проведенные из точки во все точки фигуры , образуют фигуру, которую называют конусом; точка называется вершиной конуса, фигура --- основанием конуса. Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками его основания, называются образующими конуса. Высотой конуса называется перпендикуляр из вершины конуса на плоскость его основания, а также длина этого перпендикуляра.

Конусом вращения называется конус, основание которого --- круг и вершина которого проектируется в центр основания.

Фигура, состоящая из тех образующих конуса вращения, которые соединяют его вершину с окружностью основания, называется боковой поверхностью этого конуса. Поверхностью конуса вращения называется объединение его основания и его боковой поверхности.

Термин "прямой круговой конус" заменен на "конус вращения".
А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик. Учебник для 10 класса школ с углубленным изучением математики [АлександровВернерРыжик10у]
...Пусть в некоторой плоскости задана какая-нибудь фигура , не лежащая на одной прямой, а вне этой плоскости --- точка . Фигура, образованная всевозможными отрезками , соединяющими точку с точками фигуры , называется конусом с вершиной и основанием .

Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками его основания, называются образующими конуса.

Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из вершины конуса на плоскость его основания, а также длина этого перпендикуляра.

Прямым круговым конусом или конусом вращения называется конус, основание которого --- круг, а высота попадает в центр этого круга, т.е. центр оказывается проекцией вершины конуса на основание. Высота конуса вращения назывется также его осью.

Прямой круговой конус является объединением всех равных друг другу прямоугольных треугольников, имеющих общий катет. Поэтому можно сказать, что он получен вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов --- оси конуса.

Фигура, состоящая из тех образующих конуса вращения, которые соединяют его вершину с окружностью основания, называется боковой поверхностью этого конуса. Поверхностью конуса вращения называется объединение его основания и его боковой поверхности.

И. М. Смирнова. Геометрия. 10-11 классы: Учебник для общеобразовательных учреждений (гуманитарный профиль) [Смирнова10-11гум]
Пусть в пространстве задана плоскость и точка , ей не принадлежащая. --- круг в плоскости . Фигура, образованная отрезками, соединяющими точку с точками круга , называется конусом. Круг называется основанием конуса, а точка --- вершиной конуса. Расстояние между вершиной конуса и плоскостью основания называется высотой конуса.
Фигура, образованная отрезками, соединяющими вершину конуса с точками окружности его основания, называется боковой поверхностью конуса. Сами отрезки называются образующими конуса.

В случае, если отрезок, соединяющий вершину конуса с центром основания, перпендикулярен плоскости основания, то конус называется прямым. В противном случае он называется наклонным. Прямые конусы будем называть просто конусами.

Прямая, проходящая через вершину и центр основания конуса, называется осью этого конуса.

И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10 – 11 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений [СмирноваСмирнов10-11]
Пусть в пространстве задана плоскость и точка , ей не принадлежащая. --- круг в плоскости . Фигура, образованная отрезками, соединяющими точку с точками круга , называется конусом. Круг называется основанием конуса, а точка --- вершиной конуса. Расстояние между вершиной конуса и плоскостью основания называется высотой конуса.
Фигура, образованная отрезками, соединяющими вершину конуса с точками окружности его основания, называется боковой поверхностью конуса. Сами отрезки называются образующими конуса.

В случае, если отрезок, соединяющий вершину конуса с центром основания, перпендикулярен плоскости основания, то конус называется прямым. В противном случае он называется наклонным. Прямые конусы будем называть просто конусами.

Прямая, проходящая через вершину и центр основания конуса, называется осью этого конуса.

Е. В. Потоскуев, Л. И. Звавич. Геометрия 10 класс: учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики [ПотоскуевЗвавич10у]
Тело, которое образуется при вращении прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей его катет, называется прямым круговым конусом.

Отрезок оси вращения, заключенный внутри конуса, называется осью конуса. Круг, образованный при вращении другого катета, называется основанием конуса. Длина этого катета называется радиусом основания конуса или, короче, радиусом конуса. Вершина острого угла вращающегося треугольника, лежащая на оси вращения, называется вершиной конуса.

Высотой конуса называется отрезок, проведенный из вершины конуса перпендикулярно его основанию. Длину этого перпендикуояра также называют высотой конуса.

Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности его основания, называются образующими конуса.

Как и в случае с цилиндром, можно рассматривать конус в более широком, чем у нас, понимании, когда в основании конуса может быть, например, эллипс (эллиптический конус), парабола (параболический конус). Мы будем изучать только определнный выше прямой круговой конус (конус вращения), поэтому слова "прямой круговой" мы будем опускать.

Поверхность, полученная вращением гипотенузы, называется боковой поверхностью конуса, а ее площадь --- площадью боковой поверхности конуса.

Если вокруг данной прямой --- оси --- вращать пересекающую ее прямую, то при этом вращении образуется поверхность, которую называют круговой конической поверхностью или конической поверхностью вращения.

И. Ф. Шарыгин. Геометрия 10-11 классы: Учебник для общеобразовательных учебных заведений [Шарыгин10-11]
Поверхность, ограничивающая прямой круговой конус, состоит из двух частей --- основания и боковой поверхности. Основанием такого конуса является круг. Боковая поверхность состоит из всевозможных отрезков, соединяющих точку --- вершину конуса --- с точками окружности, ограничивающей основание конуса. При этом точка расположена вне основания и проектируется в его центр. Слова "прямой, круговой" означают, что основанием конуса является круг ("круговой"), а вершина проектируется в центр этого круга ("прямой").

В широком смысле под конусом понимают тело, поверхность которого получается следующим образом. Берется произвольная замкнутая несамопересекающаяся плоская кривая и произвольная точка , не лежащая в одной плоскости с этой кривой. Кривую называют направляющей конуса, фигуру, ограниченную этой кривой, --- основанием, а точку --- вершиной. Всевозможные отрезки, соединяющие вершину с точками на направляющей, будем называть образующими конуса. Они заполняют боковую поверхность конуса.

Мы будем изучать свойства только прямого кругового конуса и слова "прямой круговой" для краткости будем опускать. Таким образом, если говорится "рассмотрим конус", то это означает "рассмотрим прямой круговой конус".

Конус (прямой круговой) представляет собой тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов (прямой, содержащей катет). При этом указанный катет неподвижен и называется осью конуса.

А. П. Киселев, Н. А. Рыбкин. Геометрия: Стереометрия: 10 – 11 классы: Учебник и задачник [Киселев10-11]
Конической поверхностью называется поверхность, производимая движением прямой (), перемещающейся в пространстве так, что она при этом постоянно проходит через неподвижную точку () и пересекает данную линию (). Прямая называется образующей, линия --- направляющей, а точка --- вершиной конической поверхности.

Конусом называется тело, ограниченное частью конической поверхности, расположенной по одну сторону от вершины, и плоскостью, пересекающей все образующие по ту же сторону от вершины. Часть конической поверхности, ограниченная этой плосокстью, называется боковой поверхностью, а часть плоскости, отсекаемая боковой поверхностью, --- основанием конуса. Перпендикуляр, опущенный из вершины на плоскость основания, называется высотой конуса.

Конус называется прямым круговым, если его основание есть круг, а высота проходит через центр основания. Такой конус можно рассматривать как тело, происходящее от вращения прямоугольного треугольника , вокруг катета как оси. При этом гипотенуза описывает боковую поверхность, а катет --- основание конуса.

В элементарной геометрии рассматривается только прямой круговой конус, который для краткости называется просто конусом.

Сравнения определений

Конус определяется как фигура вращения прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей катет.
Сначала дается общее определение конуса (в некоторых из этих учебников --- кругового конуса) как тела, состоящего из точек плоской фигуры и отрезков, соединяющих вершину с точками основания, а затем --- определение прямого кругового конуса.