Пусть --- -угольник, расположенный в некоторой плоскости, а --- точка, не лежащая в этой плоскости.
Рассмотрим всевозможные отрезки , где --- точка принадлежащая многоугольнику. Геометрическое место всех точек этих отрезков называется -угольной пирамидой.

В некоторых учебниках подразумевается, что точка пробегает весь многоугольник (по А.В.Погорелову --- плоский многоугольник), т.е. часть плоскости, в других --- только его границу.

Точка называется вершиной пирамиды, многоугольник --- основанием пирамиды. Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми ребрами пирамиды. Треугольник с вершиной и основанием, совпадающим со стороной многоугольника, называется боковой гранью пирамиды. В случае треугольной пирамиды (тетраэдра) в качестве основания пирамиды можно взять каждую из граней.

Математически верное определение

Пирамидой называется многогранник, который состоит из плоского многоугольника --- основания пирамиды, точки, не лежащей в плоскости основания, --- вершины пирамиды и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания.

Отрезки, соединящие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми ребрами.

Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.

Пирамида называется -угольной, если ее основанием является -угольник. Треугольная пирамида называется также тетраэдром.

Пирамида называется правильной, если ее основанием является правильный многоугольник, а основание высоты совпадает с центром этого многоугольника. Осью правильной пирамиды назывется прямая, содержащая ее высоту.

Высота боковой грани, проведенная из ее вершины, называется апофемой.

Боковой поверхностью пирамиды называется сумма площадей ее боковых граней.

А. В. Погорелов. Геометрия: Учебник для 10 – 11 классов общеобразовательных учреждений [Погорелов10-11]

Определения из учебников

А. В. Погорелов. Геометрия: Учебник для 10 – 11 классов общеобразовательных учреждений [Погорелов10-11]
Пирамидой называется многогранник, который состоит из плоского многоугольника --- основания пирамиды, точки, не лежащей в плоскости основания, --- вершины пирамиды и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания.

Отрезки, соединящие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми ребрами.

Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.

Пирамида называется -угольной, если ее основанием является -угольник. Треугольная пирамида называется также тетраэдром.

Пирамида называется правильной, если ее основанием является правильный многоугольник, а основание высоты совпадает с центром этого многоугольника. Осью правильной пирамиды назывется прямая, содержащая ее высоту.

Высота боковой грани, проведенная из ее вершины, называется апофемой.

Боковой поверхностью пирамиды называется сумма площадей ее боковых граней.

Заметим, что хотя произвольная треугольная пирамида и тетраэдр --- одно и то же, правильная треугольная пирамида и правильный тетраэдр --- понятия разные. Правильный тетраэдр --- это треугольникая пирамида, все шесть ребер которой равны.
В.М.Клопский, З.А.Скопец, М.И.Ягодовский. Геометрия. Учебное пособие для 9 и 10 классов средней школы [КлопскийСкопецЯгодовский9-10]
Многогранник, одна из граней которого --- произвольный многоугольник, а остальные грани --- треугольники, имеющие общую вершину, называется пирамидой.

Если основание пирамиды --- правильный многоугольник и вершина пирамиды проектируется в центр этого многоугольника, то пирамида называется правильной.

Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Л. С. Киселева, Э. Г. Позняк. Геометрия: Учебник для 10 – 11 классов общеобразовательных учреждений [Атанасян10-11]
Рассмотрим многоугольник и точку , не лежащую в плоскости этого многоугольника. Соединив точку отрезками с вершинами многоугольника, получим треугольников

Многогранник, составленный из -угольника и треугольников (1), называется пирамидой. Многоугольник назывется основанием, а треугольники (1) --- боковыми гранями пирамиды. Точка называется вершиной пирамиды, а отрезки , , ... --- ее боковыми ребрами. Пирамиду с онованием и вершиной обозначают так: и называют -угольной пирамидой.

Перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания, называется высотой пирамиды.

Площадью полной поверхности пирамиды называется сумма площадей всех ее граней (т.е. основания и боковых граней), а площадью боковой поверхности --- сумма площадей ее боковых граней.

Пирамида называется правильной, если ее основание ---правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой.

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой.

А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик. Геометрия: учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений [АлександровВернерРыжик10-11]
Пирамидой называется многогранник, у которого одна грань ---какой-либо многоугольник, а остальные грани --- треугольники с общей вершиной. Первая грань называется
основанием пирамиды, остальные же называются ; их общая вершина называется вершиной пирамиды. Стороны граней пирамиды называются ее ребрами, причем ребра, сходящиеся в вершине называются боковыми. Если основание пирамиды --- -угольник, то пирамида называется -угольной.

Простейшей из всех пирамид (и даже среди всех многогранников) является треугольная пирамида, которую называют также тетраэдром, т.е. четырехгранником.

Пирамида называется правильной, если ее основание ---правильный многоугольник, а все боковые грани равны.

...Можно дать такое определение: пирамидой называется конус, основание которого --- многоугольник.

Второе определение основано на имеющемся в учебнике следующем определении конуса.

Пусть даны плоская фигура и некоторая точка , не лежащая с фигурой в одной плоскости. Отрезки, проведенные из точки во все точки фигуры , образуют фигуру, которую называют конусом; точка называется вершиной конуса, фигура --- основанием конуса.

А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик. Геометрия: учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений [АлександровВернерРыжик10-11]
Пирамидой называется многогранник, у которого одна грань ---какой-либо многоугольник, а остальные грани --- треугольники с общей вершиной. Первая грань называется
основанием пирамиды, остальные --- боковыми гранями; их общая вершина называется вершиной пирамиды. Стороны граней пирамиды называются ее ребрами, причем ребра, сходящиеся в вершине называются боковыми. Если основание пирамиды --- -угольник, то пирамида называется -угольной.

Простейшей из всех пирамид (и даже среди всех многогранников) является треугольная пирамида, которую называют также тетраэдром, т.е. четырехгранником.

Пирамида называется правильной, если ее основание --- правильный многоугольник, а все боковые грани равны.

Тетраэдр называется правильным, если все его грани --- правильные треугольники (т.е. все его ребра равны).

И. М. Смирнова. Геометрия. 10-11 классы: Учебник для общеобразовательных учреждений (гуманитарный профиль) [Смирнова10-11гум]
Пирамида --- многогранник, поверхность которого состоит из многоугольника, называемого основанием пирамиды, и треугольников, имеющих общую вершину, называемых боковыми гранями пирамиды. Общая вершина боковых граней называется вершиной пирамиды. Ребра, сходящиеся в вершине пирамиды, называются боковыми ребрами.

Пирамида, в основании которой лежит правильный многоугольник, и все боковые ребра которой равны, называется правильной.

И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10 – 11 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений [СмирноваСмирнов10-11]
Пирамида --- многогранник, поверхность которого состоит из многоугольника, называемого основанием пирамиды, и треугольников, имеющих общую вершину, называемых боковыми гранями пирамиды. Общая вершина боковых граней называется вершиной пирамиды. Ребра, сходящиеся в вершине пирамиды, называются боковыми ребрами.

Пирамида, в основании которой лежит правильный многоугольник, и все боковые ребра которой равны, называется правильной.

Е. В. Потоскуев, Л. И. Звавич. Геометрия 10 класс: учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики [ПотоскуевЗвавич10у]
-угольная пирамида представляет собой многогранник, одна грань которого, называемая основанием пирамиды, --- некоторый выпуклый -угольник, а остальные граней --- треугольники с общей вершиной. Эта общая вершина называется вершиной пирамиды, а треугольники --- боковыми гранями пирамиды. Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами ее основания, называются боковыми ребрами пирамиды.

Пирамида, в основании которой лежит правильный -угольник, а боковые ребра равны между собой, называется правильной пирамидой.

Пирамида, в основании которой лежит треугольник, называется треугольной пирамидой или тетраэдром. Тетраэдр, все четыре грани которого --- равные правильные треугольники, называется правильным тетраэдром.

И. Ф. Шарыгин. Геометрия 10-11 классы: Учебник для общеобразовательных учебных заведений [Шарыгин10-11]
-угольной пирамидой называется многогранник, имеющий грань (т.е. -гранник), причем одна грань у него --- -угольник, а оставшихся граней --- треугольники с общей вершиной.

-угольная грань -угольной пирамиды называется основанием, в все прочие треугольные грани называются боковыми гранями. Общую для боковых граней вершину называют вершиной пирамиды. Ребра пирамиды, выходящие из этой вершины, называют боковыми ребрами пирамиды.

Простейший многогранник --- четырёхгранник или тетраэдр --- это также и простейшая треугольная пирамида.

Отрезок ( --- вершина, --- проекция на плоскость основания) называется высотой пирамиды, --- основание высоты.

Пирамида называется правильной, если в основании ее лежит правильный многоугольник, а все боковые ребра равны между собой.

Правильным называется тетраэдр (т.е. треугольниая пирамида), у которого все ребра равны между собой.

Под проекцией здесь понимается ортогональная проекция.
А. П. Киселев, Н. А. Рыбкин. Геометрия: Стереометрия: 10 – 11 классы: Учебник и задачник [Киселев10-11]
Пирамидой называется многогранник, у которого одна грань, называемая основанием, есть какой-нибудь многоугольник, а все остальные грани, называемые боковыми, --- треугольники, имеющие общую вершину.

Общая вершина боковых треугольников называется вершиной пирамиды, а перпендикуляр , опущенный из вершины на плоскость основания, --- высотой ее.

Плоскость, проведенная через вершину пирамиды и через какую-нибудь диагональ основания, называется диагональной плоскостью.

Треугольная пирамида называется иначе тетраэдром.

Пирамида называется правильной, если, во-первых, ее основание есть правильный треугольник и, во-вторых, высота проходит через центр этого многоугольника. Боковые грани правильной пирамиды суть равные равнобедренные треугольники. Высота каждого из этих треугольников называется апофемой.

Сравнения определений

В учебнике А.В.Погорелова пирамида определяется как многогранник, состоящий из отрезков, соединяющих вершину со всеми точками плоского многоугольника. В остальных учебниках пирамида --- это многогранник, поверхность которого состоит из многоугольника и расположенных специальным образом треугольников.