Лучом или полупрямой называется часть прямой, состоящая из данной точки и всех точек, лежащих от неё по одну сторону.

И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 7 – 9 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений [СмирноваСмирнов7-9]

Математически верное определение

Теорема. Любая точка прямой разделяет все остальные точки этой прямой на два непустых класса эквивалентности по следующему отношению: каждая точка эквивалентна сама себе; две различные точки эквивалентны, если точка не лежит между ними.

Данные классы вместе с точкой называются лучами или полупрямыми, а точка --- их началом.

Комментарий

Понятие луча связано с отношением порядка на прямой, которое должно регулироваться аксиомами порядка. В некоторых источниках они так или иначе есть, но в большинстве случаев делается апелляция к наглядности.

Определения из учебников

А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик. Геометрия: учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений [АлександровВернерРыжик7-9]
Луч --- это объединение всех отрезков , содержащих точку .
И. Ф. Шарыгин. Геометрия. 7-9 классы. [Шарыгин7-9]
Любая точка, лежащая на прямой, делит эту прямую на две полупрямые. Каждая из этих полупрямых называется также лучом.
А. П. Киселев, Н. А. Рыбкин. Геометрия: Планиметрия: 7 – 9 классы: Учебник и задачник [Киселев7-9]
Иногда рассматривают прямую, ограниченную только с одной стороны, например, в точке . О такой прямой говорят, что она исходит из точки , её называют лучом (или полупрямой).
Полупрямая названа "ограниченной прямой".
А. В. Погорелов. Геометрия: Учебник для 7 – 9 классов общеобразовательных учреждений [Погорелов7-9]
Полупрямой, или лучом, называется часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, которые лежат по одну сторону от данной её точки.
Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, Э.Г. Позняк, И.И. Юдина. Геометрия, 7 – 9: учебник для общеобразовательных учреждений [Атанасян7-9]
Проведём прямую и отметим на ней точку . Эта точка разделяет прямую на две части, каждая из которых называется лучом, исходящим из точки .
Не вводится синонимичный термин "полупрямая".
И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 7 – 9 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений [СмирноваСмирнов7-9]
Лучом или полупрямой называется часть прямой, состоящая из данной точки и всех точек, лежащих от неё по одну сторону.

Сравнения определений

В определении присутствует понимание прямой как множества точек, хотя вводилась прямая иначе.
В СмирноваСмирнов7-9 и АлександровВернерРыжик7-9 явно сказано, что начало луча ему принадлежит, в Погорелов7-9 явно сказано, что не принадлежит, а Атанасян7-9, Шарыгин7-9, Киселёв7-9 этот вопрос замалчивают.