Угол – это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки. Лучи называются сторонами угла, а их общее начало – вершиной угла.
Фигура, состоящая из угла и одной из частей плоскости, ограниченной его сторонами, называется плоским углом.

Математически верное определение

Пара лучей, h и k , выходящих из одной и той же точки O и не принадлежащих одной прямой, называется углом. Лучи h и k называются сторонами угла, точка Oвершиной угла. Точки плоскости, лежащие по ту же сторону от прямой, содержащей h , что и луч k , и одновременно по ту же сторону от прямой, содержащей k , что и луч h, называются внутренней областью угла, а все прочие точки, не принадлежащие самому углу — внешней областью угла.

Н.В. Ефимов. Высшая геометрия [Ефимов]

Комментарий

Источники называют углом то сам угол, то плоский угол. Корректное определение плоского угла как правило заменяется описанием. Развёрнутый угол всё-таки требует отдельного определения, эта фигура по свойствам весьма от собственно угла отличается.

Определения из учебников

Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, Э.Г. Позняк, И.И. Юдина. Геометрия, 7 – 9: учебник для общеобразовательных учреждений [Атанасян7-9]
Угол – это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки. Лучи называются сторонами угла, а их общее начало – вершиной угла.
Угол здесь рассматривается без внутренней области
А. В. Погорелов. Геометрия: Учебник для 7 – 9 классов общеобразовательных учреждений [Погорелов7-9]
Углом называется фигура, которая состоит из точки – вершины угла – и двух различных полупрямых, исходящих из этой точки, - сторон угла.
Угол здесь рассматривается без внутренней области
И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 7 – 9 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений [СмирноваСмирнов7-9]
Фигура, образованная двумя лучами с общей вершиной и одной из частей плоскости, ограниченной этими лучами, называется углом. Общая вершина называется вершиной угла, а лучи – сторонами угла.
Рассматривается оба плоских угла с данными сторонами.
И. Ф. Шарыгин. Геометрия. 7-9 классы. [Шарыгин7-9]
Углом мы будем называть часть плоскости, заключённую между двумя лучами этой плоскости, имеющими общее начало. Точки, лежащие в этой части плоскости, будем называть внутренними точками угла. Лучи, образующие угол, называются сторонами угла, а их общее начало — вершиной угла.
Рассматривается оба плоских угла с данными сторонами (в комментарии написано, что как правило будет рассматриваться меньшая часть, но будут и исключения).
А. П. Киселев, Н. А. Рыбкин. Геометрия: Планиметрия: 7 – 9 классы: Учебник и задачник [Киселев7-9]
Фигура, образованная двумя лучами, исходящими из одной точки, называется углом. Полупрямые, образующие угол, называются сторонами, а точка, из которой они исходят, - вершиной угла. Стороны следует представлять себе неограниченно продолженными от вершины.
Понятие о внутренней области (как о той из двух, которая выпукла) даётся в комментариях. Указана и внешняя область, написано, что они могут «меняться ролями».
А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик. Геометрия: учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений [АлександровВернерРыжик7-9]
Углом называется часть плоскости, ограниченная двумя лучами с общим началом. Эти лучи называются сторонами угла, а их начало вершиной угла. Стороны угла принадлежат углу.

Сравнения определений

Учебники по-разному трактуют понятие угла, то относя (Смирнова 7-9, Шарыгин 7-9), то не относя (Атанасян 7-9, Погорелов 7-9, Киселёв 7-9) к углу его внутренние точки, то есть называют угол и плоский угол одним термином. Все определения относят развёрнутый угол к углам. Из плоских углов выделяют меньший развёрнутого (Шарыгин 7-9), приблизительно определяя это понятие. Внутренние области определены нестрого.