Величина той части плоскости, которую занимает фигура. Выражается положительным числом, которое зависит от выбора единицы измерения. За единицу измерения выбирается площадь квадрата со стороной, равной какой-то единице длины. Площадь плоской фигуры примерно равна количеству таких квадратов, на которые можно разбить эту фигуру. Строгое определение достаточно сложное.



Площади фигур
Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны.
Легко посчитать площадь фигуры, разбивающейся на несколько квадратов.
А чему равна площадь фигуры, ограниченной произвольной кривой?

[ DivX, 6.4 Mb. ]   Смотреть запись

Математически верное определение

Пусть задано отображение , из некоторого множества фигур на плоскости в неотрицательные действительные числа, удовлетворяюще cледующим свойствам:
1. (нормировка) Если - единичный квадрат, то .
2. Площади геометрически равных (конгруэнтных) фигур равны
3. (конечная аддитивность) Если , причем количество этих фигур – конечно и они не имеют общих внутренних точек, то .

Такое отображение называется площадью. А число называется площадью плоской фигуры .

Истроическая справка

Определение площадей геометрических фигур – одна из древнейших практических задач. Правильный подход к их решению был найден не сразу, но уже древние греки умели правильно находить площади многоугольников.
Определение понятия площади стали давать много позже.

Определения из учебников

А. В. Погорелов. Геометрия: Учебник для 7 – 9 классов общеобразовательных учреждений [Погорелов7-9]
Площадь простых фигур – положительная величина, численное значение которой обладает следующими свойствами:

1) Равные фигуры имеют равные площади.

2) Если фигура разбивается на части, являющиеся простыми фигурами, то площадь этой фигуры равна сумме площадей частей.

3) Площадь квадрата со стороной, равной единице измерения, равна единице.

Для других фигур площадь не определяется
А. П. Киселев, Н. А. Рыбкин. Геометрия: Планиметрия: 7 – 9 классы: Учебник и задачник [Киселев7-9]
Величина части плоскости, ограниченной многоугольником или какой-нибудь другой плоской замкнутой фигурой, называется площадью этой фигуры
Свойства площадей и понятие об измерении площадей выделены отдельно
Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, Э.Г. Позняк, И.И. Юдина. Геометрия, 7 – 9: учебник для общеобразовательных учреждений [Атанасян7-9]
Площадь многоугольника – положительное число, обладающее следующими свойствами:

1) Равные многоугольники имеют равные площади

2) Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников

Для произвольной фигуры площадь не определяется, а определяется только способ ее вычисления
А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик. Геометрия 8 – 9. учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики [Александров8-9]
Для многоугольных фигур площадью называется положительная величина с такими свойствами:

1) Если фигура составлена из нескольких многоугольных фигур, то ее площадь равна сумме площадей этих фигур

2) Равные фигуры имеют одну и ту же площадь

Для произвольной фигуры площадь не определяется, а определяется только способ ее вычисления
А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик. Геометрия 8: экспериментальное учебное пособие для учащихся 8 класса средних учебных заведений [Александров8]
Площадью многоугольной фигуры называется положительная скалярная величина с такими основными свойствами:

1) Если фигура составлена из нескольких многоугольных фигур, то ее площадь равна сумме площадей этих фигур

2) Равные фигуры имеют равные площади

Определение дано в конце изучения темы «Площади»
В.Н. Руденко, Г.А. Бахурин. Геометрия 7 – 9: пробный учебник для 7 – 9 классов средней школы [Руденко7-9]
Определение не дается, но сформулированы аксиомы площадей:

1) Каждый многоугольник имеет положительную площадь

2) Площадь квадрата со стороной, равной единице длины, равна единице площади

3) Равные многоугольники имеют равные площади

4) Если многоугольник разбит на неперекрывающиеся многоугольники, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников

Отдельно дается определение площади круга:
величина, к которой стремится площадь вписанного в его окружность правильного многоугольника при условии, что число его сторон неограниченно увеличивается
В.Г. Болтянский, Г.Д. Глейзер. Геометрия 7 – 9: углубленный курс развивающего математического образования [Болтянский7-9]
Определение не дается, но сформулированы два основных свойства площади многоугольников:

1) Равные многоугольники имеют одну и ту же площадь

2) Если многоугольник представляет собой объединение нескольких многоугольников, попарно не имеющих общих внутренних точек, то площадь всего многоугольника равна сумме площадей его частей

Площадь криволинейной фигуры не определяется
Коллектив авторов. Математический энциклопедический словарь [ЭнцСловарь88]
Площадь – одна из основных величин, связанных с геометрическими фигурами. В простейших случаях измеряется числом заполняющих плоскую фигуру единичных квадратиков
Свойства площадей выделены отдельно
Составитель – А.П. Савин. энциклопедический словарь юного математика [Энцик_юного85]
Площадью называется величина, характеризующая размер геометрической фигуры
Дан иллюстративный материал
И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 7 – 9 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений [СмирноваСмирнов7-9]
Площать фигуры - это число, показывающее, сколько раз единичный квадрат и его части укладываются в данной фигуре.
А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик. Геометрия: учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений [АлександровВернерРыжик7-9]
Для многоугольных фигур площадью называется положительная величина с такими основными свойствами:

1. Если фигура составлена из нескольких многоугольных фигур, то ее площадь равна сумме площадей этих фигур.

2. Равные треугольники имеют одну и ту же площадь.

И. Ф. Шарыгин. Геометрия. 7-9 классы. [Шарыгин7-9]
Площадь - это число, которое ставится в соответствие ограниченной плоской фигуре.

Сравнения определений

В учебнике Погорелова приводится более строгое определение
Практически идентичны
Определения даны в виде свойств площадей, причем в учебнике Руденко – более полно (включая измерение площади)
Строгими определениями не являются, но в учебниках Киселева и Энциклопедическом словаре сформулированы свойства площади