Урок 1.12 Обратные тригонометрические функции в уравнениях с параметром

Пример 2

Решить при всех a уравнение arctg x + arcctg ax = p.

Решение

Вычитая из обеих частей уравнения arctg x, получим arcctg ax = p – arctg x.
Из оценок 0 < arcctg ax < p, и уравнения arcctg ax = p – arctg x следует, что и , или .
Значит, получаем ограничения ax < 0 и x > 0, или x > 0 и a < 0.
Так как функция y = ctg x > 0 убывает на интервале , то исходное уравнение эквивалентно
ctg(arcctg ax) = ctg(p – arctg x) при ограничениях x > 0 и a < 0.
Замечая ctg(arcctg ax) = ax и ,
получим, что задача сводится к нахождению решений уравнения , удовлетворяющих неравенствам x > 0 и a < 0. Умножив обе части уравнения на x и поделив на a, находим . Учитывая ограничения x > 0 и a < 0, получаем .

Ответ

 

ИИСС "Алгебраические задачи с параметрами"