Геометрические преобразования. Перемещения

Среди объектов, рассматриваемых в геометрии, в том числе в школьном курсе, присутствуют геометрические преобразования, переводящие каждую точку плоскости (или пространства) в какую-либо другую точку. Особое внимание школьная программа уделяет т. н. перемещениям, или движениям, – преобразованиям, сохраняющим расстояние между точками.

Рис. 1. Перемещения сохраняют расстояния между точками

Перемещения переводят фигуры в равные им. Равные фигуры в этом смысле, то есть фигуры, расстояния между соответствующими точками которых одни и те же, называются еще конгруэнтными фигурами. Этот термин восходит к Г. В. Лейбницу; в античной математике термина для обозначения равенства в этом смысле не существовало: равными назывались фигуры, имеющие одинаковую площадь (если речь шла о плоских фигурах) или объем (если речь шла о трехмерных): равные фигуры в этом смысле ныне именуются равновеликими. Равные же фигуры в современном смысле (конгруэнтные) в античности назывались «равными и подобными». Действительно, равенство в нашем смысле сводится к равновеликости и подобию (подобие отражает тождество формы, а равновеликость – равенство размеров).

Рис. 2. Равновеликие, подобные и равные фигуры

Конгруэнтность иногда определяют как совпадение при наложении: если фигуры Ф1 и Ф2 конгруэнтны, то можно каким-то образом перенести фигуру Ф1 с одного места на другое так, чтобы она совпала с фигурой Ф2, при этом в процессе этого движения расстояния между точками фигуры не меняются, она ведет себя как твердая. О фигурах, совместимых при наложении, говорится уже в 7-й аксиоме «Начал» Евклида. Фактически, геометрию можно определить как науку, изучающую свойства фигур, не меняющиеся при перемещениях, т. е. зависящие только от расстояний между точками фигур: в самом деле, геометрические свойства каких-нибудь треугольников, например, не зависят от того, где эти треугольники находятся, а зависят лишь от длин их сторон.

Несмотря на такую, казалось бы, важность перемещений для самого понимания предмета геометрии, математики долгое время не обращали большого внимания на перемещения как особый объект; разве что их интерес направлялся на фигуры, переходящие сами в себя при некоторых перемещениях (например, симметриях), – но не на свойства этих перемещений как таковых. Первый раз вопрос о преобразованиях, переводящих некие фигуры в «равные и подобные» им, поставлен в XV главе II тома «Введения в анализ бесконечных» Л. Эйлера. Подход Эйлера лежит в русле аналитической геометрии: Эйлер рассматривал условия, при которых кривые на координатной плоскости (притом только алгебраические кривые) переходят сами в себя при некоторых перемещениях или, если рассмотреть вопрос шире, обладают конгруэнтными частями. Решая эту задачу, Эйлер классифицировал все движения на плоскости: он показал, что любое движение – это либо перенос, либо поворот, либо осевая симметрия (отражение), либо скользящая симметрия (т. е. композиция осевой симметрии и переноса в направлении ее оси).

Рис. 3. Любое движение можно представить в виде переноса, либо поворота, либо осевой симметрии, либо скользящей симметрии

Эйлер показал, что алгебраическую кривую (отличную от прямой) нельзя перевести в себя переносом. Действительно, вспомним, что алгебраическая кривая задается уравнением F (xy) = 0, где F (xy) – многочлен, а, значит, может иметь только конечное количество корней. Если бы алгебраическая кривая переводилась сама в себя параллельным переносом, она пересекалась бы с прямыми, идущими в том же направлении, в бесконечном числе точек, что невозможно. Алгебраическую кривую, отличную от окружности, можно перевести в себя лишь поворотом на угол, соизмеримый с прямым.

Композиция двух осевых симметрий – перенос (если оси симметрий параллельны) или поворот (если они пересекаются; центр поворота тогда – точка пересечения осей): поэтому, если алгебраическая кривая переходит в себя при отражениях от двух осей, то эти оси обязательно пересекаются (иначе она бы переходила в себя и при переносе, а это невозможно), и образуют угол, соизмеримый с прямым углом. Если угол пересечения осей отличен от прямого и кратен углу 180°/n, где n целое, то линия обладает n осями симметрии, образующими друг с другом углы 180°/n. Следовательно, если алгебраическая кривая обладает n осями симметрии, все они пересекаются в одной точке и образуют друг с другом углы 180°/n.

Рис. 4. Кривые с 3 и 4 осями симметрии

Следует отметить, что перенос и поворот кое-чем отличаются от симметрии и скользящей симметрии: а именно, первые не меняют ориентацию, а вторые меняют. Если данное перемещение переводит треугольник A1B1C1 в A2B2C2, то кратчайший угол от A2B2 к A2C2 может откладываться в ту же сторону, что кратчайший угол от A1B1 к A1C1, а может в противоположном направлении: это дает основание разбить все перемещения на не меняющие ориентацию и на меняющие ее. Композиция перемещений, не меняющих ориентацию, также не меняет ориентации, а композиция перемещений, меняющих ориентацию, не меняет ориентации (ориентация меняется дважды, поэтому в конце концов восстанавливается первоначальная).

Рис. 5. Сохранение ориентации при переносе и повороте, ее изменение при симметрии

Перемещения плоскости, не меняющие ориентацию, могут быть «физически реализованы», не выходя за пределы плоскости: то есть, если фигура Ф1 переходит в фигуру Ф2, то первую фигуру можно совместить со второй, постепенно двигая ее вдоль плоскости. Если же перемещение меняет ориентацию, то для его реализации надо вынуть фигуру из плоскости, перевернуть ее в пространстве и лишь после этого поместить обратно в плоскость (либо разобрать ее на составные элементы и сложить их в другом порядке, как бы вывернув наизнанку).

Рис. 6. Постепенное перемещение, сохраняющее ориентацию, и вынимание фигуры из плоскости для изменения ориентации

Перемещения в трехмерном пространстве также могут менять либо не менять ориентацию. Перемещения, меняющие ориентацию, невозможно реализовать как последовательное непрерывное движение, подобно тому, как нельзя, не выворачивая, совместить правую перчатку с левой. А вот перемещения, не меняющие ориентации, интересовали математиков еще и с точки зрения описания механического движения твердого тела. В работе «Общие формулы для произвольного перемещения жестких тел» Эйлер вывел формулы преобразования координат тел при произвольном перемещении, а в добавлении к этой работе доказал, что, «каким бы образом сфера ни вращалась вокруг своего центра, всегда можно указать диаметр, направление которого в конечном итоге совпадает с его начальным положением». Развивая этот результат, в XIX в. М. Шаль представил классификацию движений в пространстве. В частности, любое движение, сохраняющее ориентацию, есть либо перенос, либо поворот вокруг некоторой оси, либо винтовое движение, то есть композиция поворота вокруг некоторой оси с переносом вдоль нее. Что же до перемещений, не сохраняющих ориентацию, то каждое из них представляет собой либо симметрию относительно плоскости, либо скользящую симметрию (композицию симметрии относительно плоскости и переноса в направлении параллельном этой плоскости), либо центральную симметрию (на плоскости центральная симметрия – частный случай поворота, а вот в пространстве совсем нет, она даже нарушает ориентацию; «плоской» центральной симметрии в пространстве соответствует, скорее, осевая симметрия, она-то как раз является частным случаем пространственного поворота вокруг оси и сохраняет ориентацию).

Рис. 7. В пространстве – перенос, поворот относительно оси, осевая симметрия, винтовое движение, симметрия относительно плоскости, скользящая симметрия, центральная симметрия

Множество всех перемещений является группой. Понятие группы было впервые введено Э. Галуа в работе, где он доказал неразрешимость уравнений 5-й степени в радикалах. Для доказательства Галуа рассматривал перестановки корней уравнения. Перестановка – это преобразование конечного множества, при котором его элементы каким-то образом меняются местами. Ф. Клейн применил понятие группы к разным другим преобразованиям, в частности, геометрическим. А именно, некоторое множество преобразований является группой, если:

1) композиция двух преобразований из этого множества также принадлежит этому множеству;
2) это множество включает тождественное преобразование (т. е. такое «преобразование», которое каждую точку оставляет на месте);
3) если какое-то преобразование принадлежит данному множеству, то и обратное ему преобразование также принадлежит этому множеству. (Если дано преобразование φ, то обратным к нему называется такое преобразование χ, что композиция φ и χ есть тождественное преобразование: иными словами, если преобразование переводит точку A в точку B, то обратное преобразование переводит B в A).

Например, множество всех перемещений является группой. Действительно, т. к. каждое перемещение сохраняет расстояния между точками, их композиция сохраняет расстояние между точками и, следовательно, является перемещением. Тождественное преобразование, очевидно, сохраняет расстояние, следовательно, является перемещением. Каждое перемещение имеет обратное преобразование, тоже являющееся перемещением: у переноса это перенос на тот же отрезок в обратном направлении; у поворота это поворот вокруг того же центра на тот же угол, откладываемый в обратном направлении; у осевой симметрии это та же осевая симметрия. В любом случае, если при некотором перемещении A1 переходит в A2, а B1 в B2, то, поскольку A1B1 = A2B2, обратное преобразование тоже сохраняет расстояние, а значит, является перемещением.

Являются ли группами:

а) множество всех перемещений плоскости, сохраняющих ориентацию,

б) множество всех перемещений плоскости, не сохраняющих ориентацию,

в) множество всех переносов плоскости,

г) множество всех поворотов плоскости,

д) множество всех поворотов плоскости, имеющих один и тот же центр?

Ответ

Еще, например, группами является множество всех перемещений, переводящих некоторый правильный многоугольник или многогранник в себя. К слову, каждое такое перемещение однозначно определяется некоторой перестановкой конечного множества – а именно, множества вершин данного многоугольника (многогранника).

Изучение различных групп перемещений позволило Е. С. Федорову составить классификацию возможных мозаик на плоскости и кристаллических решеток в пространстве.