Методы решения кинематических задач
Наиболее распространенным в кинематике является координатный метод решения задач, который уже применялся выше. Суть его отражается в пунктах следующего предписания.
  • Выберите систему: тело отсчета, начало отсчета времени. Свяжите с телом отсчета систему координат.
  • Изобразите в выбранной системе отсчета все кинематические характеристики движения каждого из рассматриваемых тел в начальный, конечный, промежуточные моменты времени – координаты, перемещения, скорости, ускорения.
  • Запишите для каждого из рассматриваемых тел уравнения движения в координатной форме
  • Запишите для каждого из рассматриваемых тел уравнение скорости в проекциях на выбранные направления (υx = υ0x + ax ∙ Δt).
  • При необходимости запишите дополнительные уравнения.
  • Решите полученную систему уравнений относительно неизвестных величин.

Следует иметь в виду, что данное предписание содержит лишь пункты, касающиеся только кинематической части задачи. В нем отсутствуют такие обязательные для решения каждой задачи пункты, как, например, анализ условия, поиск рационального или оригинального подхода к решению, поверка ответа. Кроме того, надо отдавать себе отчет в том, что данное предписание не является алгоритмом и не дает никакой гарантии на получение результата в случае его точного исполнения. Более того, некоторые указания в конкретных случаях могут и не выполняться. Например, если отсутствует требование найти скорость тела в заданный момент времени, четвертый пункт может быть опущен. Может не изображаться на чертеже часть кинематических характеристик. Вместе с тем, следование предписанию может оказаться весьма полезным.

Пример 1Задача об автомобиле
Рис. 1

Автомобиль, имеющий скорость 10 м/c, в некоторый момент времени начинает двигаться с отрицательным ускорением –2 м/с2. С таким ускорением продолжает двигаться в течение 6 секунд.

Какой путь пройдет автомобиль за это время?

Казалось бы, задачу можно решить просто, воспользовавшись известной формулой  

Однако по приведенной формуле находится перемещение тела. Путь же, даже при прямолинейном движении тела не всегда численно совпадает с его перемещением.

Не будем торопиться и применим к решению приведенное выше предписание.

Будем решать задачу в системе отсчета, неподвижной относительно Земли. Начнем отсчитывать время с момента появления у автомобиля ускорения.

Свяжем точку отсчета с положением автомобиля в этот момент времени. Ось координат направим в сторону начальной скорости автомобиля.

Отобразим на чертеже все необходимые кинематические характеристики движения тела (координаты, перемещения, скорости и ускорения) в начальный, конечный и промежуточные моменты времени.

Рис. 2

Начальная координата автомобиля 0, в этот момент времени у автомобиля имеется скорость направленная по оси X, и в этот же момент у автомобиля появляется ускорение направленное в противоположную выбранной оси сторону. Знак минус говорит о том, что ускорение направлено против установленного нами направления. И не более того.

Автомобиль, двигаясь с ускорением –2 м/с2, уменьшает свою скорость.

Прежде, чем рассуждать дальше, произведем несложные расчеты.

Скорость автомобиля уменьшается и через одну секунду она будет равна 8 м/с, через 2 секунды – 6 м/с, через 3 секунды – 4 м/с, через 4 секунды – 2 м/с. Через 5 секунд автомобиль остановится.

Может показаться, что раз автомобиль остановился, то условие задачи сформулировано неверно.

В связи с этим, один из вариантов решения рассматриваемой задачи может быть таким: мы, воспользовавшись данным уравнением, подставляем в него значение времени 5 с, в течение которого, как нам кажется, автомобиль двигался, и рассчитываем перемещение. Это можно сделать устно. Производим подстановку значений в уже использованную ранее формулу. После несложных вычислений получаем

Но на самом деле текст задачи несколько иной. В задаче четко сказано, что автомобиль двигался не 5, а 6 секунд, и требуется найти путь, пройденный им в течение 6 секунд.

Одним из вариантов такого движения, когда автомобиль действительно мог бы двигаться еще одну секунду, является движение автомобиля в горку.

Представим себе следующую ситуацию. Автомобиль разогнался и у основания горки водитель выключил двигатель. Автомобиль въезжает на горку, его скорость действительно уменьшается, он движется с отрицательным ускорением. Через 5 с автомобиль останавливается и начинает двигаться назад, то есть скатываться с горки. Он может двигаться еще некоторое время: секунду, две, три и так далее, но он движется уже назад. При этом скорость автомобиля по величине возрастает. Вектор же ускорения направлен против оси, и поэтому даже для случая увеличения скорости, мы обязаны считать это ускорение отрицательным.

Отобразим на чертеже координату точки остановки. В этой точке ускорение у автомобиля все равно есть, оно по-прежнему направлено против оси и равно –2 м/с2.

В нашем случае автомобиль через 5 с остановился, потом начал движение в обратном направлении и через секунду он оказалось ближе к началу координат.

Автомобиль совершил перемещение до остановки, потом он совершил перемещение в обратном направлении.

Пройденный автомобилем путь оказался равным сумме модулей перемещений и  

Сначала мы рассчитываем по формуле, которую уже использовали, перемещение автомобиля за 5 с (это перемещение мы уже определили – оно равно 25 м).

Затем решаем вторую задачу.

Тело имеет начальную скорость 0 и начинает двигаться с ускорением 2 м/с2. Какое перемещение оно совершит за оставшуюся секунду?

Воспользуемся тем же самым уравнением, только начальную скорость примем равной нулю. Рассчитаем перемещение    

Окончательно: L = 25 м + 1 м = 26 м.

В качестве вывода отметим, что в задачах по кинематике не следует пренебрегать общими указаниями к решению данного класса задач.

Необходимость следования предписанию по решению задач, а также влияние выбора системы отсчета на ход решения ярко проявляется при анализе следующей задачи.

Пример 2Задача о воздушном шаре.
Рис. 3

Из гондолы воздушного шара, поднимающегося вертикально вверх с постоянной скоростью 10 м/с, выпал предмет, который упал на Землю через 5 с.

На какой высоте находился шар в тот момент, когда предмет коснулся Земли?

Очень часто такую задачу решают поэтапно:

  • Находят время движения выпавшего предмета вверх:  
  • Находят время падения предмета до того места, откуда он выпал из гондолы шара: и скорость в этой точке и направлена вертикально вниз.
  • Находят перемещение предмета за оставшиеся 3 с, т. е. высоту, на которой находился шар в момент отделения от него предмета. h1 = 75 м.
  • Находят перемещение шара за 5 с  
  • Находят общую высоту как H = h1 + h2; H = 125 м.

Такое решение является достаточно простым. Но основные рассуждения при его выполнении построены на знании скорости подъема шара. Стоит из условия задачи исключить данные об этой скорости, как решение данным способом уже не может быть выполнено. Следовательно, приведенные рассуждения иллюстрируют всего лишь частный подход к решению одной конкретной задачи. Этот подход не распространяется на решение других задач и поэтому служит лишь иллюстрацией того, как не следует решать кинематические задачи.

Рис. 4

Универсальным для решения задач по кинематике является координатный метод. Проиллюстрируем его применительно к данной задаче.

Свяжем точку отсчета с поверхностью Земли. Начнем отсчет времени в тот момент, когда предмет отделился от шара. Координатную ось направим вертикально вверх.

Запишем уравнения движения шара и тела в системе отсчета, связанной с Землей:  

По условию задачи, в искомый момент времени

Отсюда: Численно:

Задача имеет и более рациональное решение.

Рис. 5

Если связать систему отсчета с движущимся шаром и ось 0Y направить вертикально вниз, то уравнение движения тела запишется:  H = 125 м.

Такое решение редко приводится в силу того, что мы «привыкли» связывать систему отсчета с Землей, каким-то неподвижным телом.

Координатный метод позволяет решать и более сложные задачи на движение тела, брошенного под углом к горизонту. Одной из таких задач является следующая.

Пример 3Задача о движении тела, брошенного под углом к горизонту.
Рис. 6

Снаряд выпущен из орудия со скоростью под углом к горизонту.

Через какое время снаряд окажется на высоте h?

Какова дальность полета снаряда?

Какое время снаряд будет находиться в полете?

На какую максимальную высоту он поднимется?

Под каким углом к горизонту необходимо произвести выстрел, чтобы дальность полета снаряда была максимальной?

Какова форма траектории снаряда?


При решении задачи учитывать сопротивление воздуха не будем. Сразу оговоримся, что в реальных условиях пренебрегать сопротивлением воздуха можно только при очень небольших скоростях, сообщаемых брошенным под углом к горизонту телам, да и то, если нас интересуют лишь приближенные ответы на поставленные выше вопросы. При больших же начальных скоростях тел сопротивление их движению настолько велико, что реальные значения искомых величин значительно отличаются от соответствующих теоретических значений, полученных без учета сопротивления воздуха. Однако, чтобы научиться решать реальные сложные задачи, надо начать с анализа более простых идеализированных ситуаций. Именно такой анализ и представлен в данной задаче.

Свяжем систему отсчета с местом броска камня. Начнем отсчитывать время в момент броска. Камень участвует в сложном движении. Он одновременно смещается горизонтально и движется в вертикальном направлении, сначала поднимается вверх, потом падает.

Рис. 7

Горизонтальное и вертикальное движения происходят независимо друг от друга, что следует из принципа независимости движений. Данный принцип позволяет рассмотреть вместо сложного движения два простых: движение горизонтальное и движение вертикальное.

В связи с этим, ось абсцисс направим горизонтально вправо, ось ординат – вертикально вверх. Вектор начальной скорости разложим на две векторных составляющих: и спроецируем эти составляющие на выбранные направления.

Вдоль оси абсцисс тело движется равномерно со скоростью υ0x = υ0 ∙ cos α.

Вдоль оси ординат тело движется с ускорением a = g = –9,8 м/с2. Ускорение отрицательно и на восходящем, и на нисходящем участках траектории, поскольку его вектор направлен против оси 0Y. Вертикальная составляющая начальной скорости равна υ0y = υ0 ∙ sin α.

Запишем уравнения движения для двух его составляющих в проекциях на выбранные направления:  

С учетом того, что       перепишем уравнения в виде:  

Из второго уравнения находим время:

Из решения следует, что на высоте h камень окажется дважды: на восходящем и нисходящем участках траектории.

Если конечная координата тела вдоль оси 0Y равна нулю, то второе уравнение перепишем:

Из этого уравнения получаем:  

Подставляя значение времени полета в уравнение движения тела вдоль горизонтальной оси, имеем:

Поскольку то

Если угол α = 45°, то sin 90° = 1. Это означает, что при броске под данным углом дальность полета камня максимальна. Она равна:

Максимальной высоты тело достигнет через время в два раза меньшее общего времени полета: Подставляя значение этого времени в уравнение для нахождения высоты подъема тела, имеем:

Кроме того, если в уравнение для высоты подъема тела подставить время, выраженное из уравнения для дальности полета в горизонтальном направлении, получим:

Сопоставление этого уравнения с уравнением позволяет утверждать, что траекторией тела, брошенного под углом к горизонту, является парабола.

Наряду с координатным методом решения кинематических задач, удобно пользоваться векторным методом. Суть этого метода заключается в следующем.

Записывается уравнение для расчета перемещения тела в виде

Рис. 8

Вектор равен геометрической сумме двух векторов и

Одной из распространенных операций над векторами является их сложение по правилу треугольника

Решение кинематических задач векторным методом начинается с построения треугольника, сторонами которого являются вектора  

Далее мы «забываем», что имеем дело с векторами и решаем обычную геометрическую задачу.

При решении геометрической задачи часто приходится выполнять дополнительные построения. Желательно, чтобы при этом на чертеже появились прямоугольные треугольники, соотношение между сторонами которых проще, чем для косоугольных треугольников.

Применим приведенные рассуждения, например, к нахождению времени движения камня, брошенного под углом к горизонту, до заданной точки.

Рис. 9

Камень брошен из точки O и движется по параболе. Через некоторое время t он оказывается в точке A на высоте h. Нарисуем три вектора:     Вектор перемещения соединяет начальную точку O и заданную точку A. Вектор имеет начало в точке броска O и сонаправлен с вектором начальной скорости. Вектор направлен вертикально вниз и оканчивается в заданной точке A. Все три вектора образуют треугольник OAB.

Опустив из точки A перпендикуляр на горизонтальное направление, получаем прямоугольный треугольник OAC. Катет, противолежащий углу равен

Он связан с гипотенузой соотношением:

Это уравнение можно переписать в более привычном виде: В общем виде, уравнение имеет два корня. Как уже пояснялось выше, на высоте h, камень может находиться дважды: на восходящем и на нисходящем участках траектории.

Рассмотрим, как векторный метод применяется к решению более сложной задачи.

Пример 4Задача о теннисном шаре
Рис. 10

С высоты h на наклонную плоскость падает теннисный шарик и упруго отскакивает от нее.

Угол наклона плоскости к горизонту – α.

Где шарик второй раз коснется плоскости?


Выполним чертеж.

Рис. 11

β = β, т. к. угол падения равен углу отражения.

α = β, как углы с взаимно перпендикулярными сторонами.

Шарик, по условию задачи, касается плоскости дважды, пусть в точках A и B. При этом он совершает перемещение

Так как движение происходит в поле тяжести, то a = g и

О векторе мы знаем, что он направлен вертикально вниз и заканчивается в точке B.

О векторе мы знаем, что он направлен вдоль вектора и длина его ограничивается точкой пересечения с вектором

Рис. 12

Достроим чертеж. Опустим из точки C на основание треугольника ABC перпендикуляр.

ACD = α, как вертикальные накрест лежащие.

CAD = π/2 – α.

CBD = π/2 – α.

Отсюда: CAD = CBD.

Это означает, что ΔACB – равнобедренный.

Рис. 13

Таким образом,    

Это и есть ответ к данной задаче. Но так как нам неизвестна начальная скорость шарика при отскоке, но известна высота, с которой он упал, необходимо решить еще одну задачу, которая позволила бы установить связь между этими величинами. Для этого можно воспользоваться уравнением, связывающим начальную скорость тела (в данном случае она равна нулю), конечную скорость (скорость непосредственно перед ударом о плоскость), и ускорение движения тела (ускорением свободного падания): α = β.

Окончательно: S = 8 ∙ h ∙ sin α.