Скрыть решение
Подсказка
Обозначьте
ADB =
и выразите стороны четырёхугольника по
формуле
a = 2R sin
(или проведите диаметр DD1).
Решение
Первый способ.
Обозначим
ADB =
,
BDC =
. Тогда
AB = 2
R sin

,
BC = 2
R sin

,
CD = 2
R sin(90
o -

) = 2
R cos

,
AD = 2
R sin(90
o -

) = 2
R cos

.
Следовательно,
AP2 + BP2 + CP2 + DP2 = AB2 + DC2 =
= 4
R2sin
2
+ 4
R2cos
2
= 4
R2,
AB2 + BC2 + CD2 + AD2 = 4R2 + 4R2 = 8R2.
Второй способ.
Проведём диаметр DD1. Поскольку
BD
BD1 и
BD
AC, то
BD1 || AC, поэтому
CD1 = AB. Из
прямоугольного треугольника DCD1 находим, что
CD21 + CD2 = DD21 = 4R2.
Поэтому
AB2 + CD2 = 4R2.
Аналогично
BC2 +
AD2 = 4
R2.
Следовательно,
AB2 + BC2 + CD2 + AD2 = 4R2 + 4R2 = 8R2,
AP2 + BP2 + CP2 + DP2 = AB2 + DC2 = 4R2.
Ответ
4R2; 8R2.