Докажите, что если две биссектрисы треугольника равны, то он равнобедренный.
Докажите, что большему углу треугольника соответствует меньшая биссектриса.
Пусть ,
,
— углы при вершинах соответственно A,
B и C треугольника ABC; BM и CN — биссектрисы треугольника. Предположим,
что
<
.
Отложим от луча CN в полуплоскости, содержащей точку M,
угол NCM1, равный
, где M1 — точка на биссектрисе BM.
Поскольку
<
, то точка M1 лежит между точками B и M.
Отрезок NM1 виден из точек B и C под одним углом, равным
. Следовательно, точки B, N, M1 и C лежат на одной окружности,
а BM1 и CN — хорды этой окружности.
Поскольку
Пусть a, b и c — стороны треугольника, и
— углы,
противолежащие сторонам b и c соответственно, lb и lc —
биссектрисы треугольника, проведённые из вершин этих углов.
По известной формуле для площади треугольника имеем:
Выразим обе биссектрисы через стороны треугольника и приравняем полученные выражения.