Задача No. 52466

Докажите, что если две биссектрисы треугольника равны, то он равнобедренный.

Подсказка

Докажите, что большему углу треугольника соответствует меньшая биссектриса.

Решение

Первый способ.

Пусть $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ — углы при вершинах соответственно A, B и C треугольника ABC; BM и CN — биссектрисы треугольника. Предположим, что $\beta$ < $\gamma$ .

Отложим от луча CN в полуплоскости, содержащей точку M, угол NCM₁, равный ${\frac{\beta}{2}}$ , где M₁ — точка на биссектрисе BM. Поскольку ${\frac{\beta}{2}}$ < ${\frac{\gamma}{2}}$ , то точка M₁ лежит между точками B и M.

Отрезок NM₁ виден из точек B и C под одним углом, равным ${\frac{\beta}{2}}$ . Следовательно, точки B, N, M₁ и C лежат на одной окружности, а BM₁ и CN — хорды этой окружности. Поскольку

$\displaystyle \angle$ BCM₁ = $\displaystyle {\frac{\gamma}{2}}$ + $\displaystyle {\frac{\beta}{2}}$ < $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ + $\displaystyle {\frac{\beta}{2}}$ + $\displaystyle {\frac{\gamma}{2}}$ = 90^o,

$\displaystyle \angle$ BCM₁ = $\displaystyle {\frac{\beta}{2}}$ + $\displaystyle {\frac{\gamma}{2}}$ > $\displaystyle \beta$ = $\displaystyle \angle$ NBC,

то хорда BM₁ видна из точки C под острым углом, равным ${\frac{\gamma}{2}}$ + ${\frac{\beta}{2}}$ , а хорда CN видна из точки B под острым углом, равным $\beta$ , причём ${\frac{\beta}{2}}$ + ${\frac{\gamma}{2}}$ > $\beta$ . Следовательно,

BM > BM₁ > CN.

Таким образом, если углы треугольника не равны, то большему углу соответствует меньшая биссектриса. Следовательно, если биссектрисы равны, то равны и соответствующие им углы треугольника.

Второй способ.

Пусть a, b и c — стороны треугольника, $\beta$ и $\gamma$ — углы, противолежащие сторонам b и c соответственно, l_b и l_c — биссектрисы треугольника, проведённые из вершин этих углов. По известной формуле для площади треугольника имеем:

$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ab sin $\displaystyle \gamma$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ bl_csin $\displaystyle {\frac{\gamma}{2}}$ + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ al_csin $\displaystyle {\frac{\gamma}{2}}$ ,

откуда находим, что

l_c = $\displaystyle {\frac{2ab \cos \frac{\gamma}{2}}{a + b}}$ .

Ааналогично

l_b = $\displaystyle {\frac{2ac \cos \frac{\beta}{2}}{b+c}}$ .

Докажем, что если c > b, то l_c < l_b. В самом деле,

c > b $\displaystyle \Rightarrow$ $\displaystyle \gamma$ > $\displaystyle \beta$ $\displaystyle \Rightarrow$ $\displaystyle {\frac{\gamma}{2}}$ > $\displaystyle {\frac{\beta}{2}}$ $\displaystyle \Rightarrow$ cos $\displaystyle {\frac{\gamma}{2}}$ < cos $\displaystyle {\frac{\beta}{2}}$ ;

c > b $\displaystyle \Rightarrow$ a + c > a + b $\displaystyle \Rightarrow$ $\displaystyle {\frac{1}{a+c}}$ < $\displaystyle {\frac{1}{a+b}}$ $\displaystyle \Rightarrow$

$\displaystyle \Rightarrow$ $\displaystyle {\frac{a}{a+c}}$ < $\displaystyle {\frac{a}{a+b}}$ $\displaystyle \Rightarrow$ $\displaystyle {\frac{ab}{a+c}}$ < $\displaystyle {\frac{ac}{a+b}}$ $\displaystyle \Rightarrow$

$\displaystyle \Rightarrow$ l_c = $\displaystyle {\frac{2ab \cos \frac{\gamma}{2}}{a + b}}$ < $\displaystyle {\frac{2ac \cos \frac{\beta}{2}}{a + c}}$ = l_b.

Таким образом, если стороны треугольника не равны, то к большей стороне проведена меньшая биссектриса. Следовательно, если биссектрисы равны, то равны и соответствующие им стороны треугольника.

Третий способ.

Выразим обе биссектрисы через стороны треугольника и приравняем полученные выражения.

Условие

Подсказка

Решение