Задача по физике N333

К проволочному каркасу К, имеющему вид окружности, прикрепили нить, которая связана из четырёх кусков

с длинами, относящимися друг к другу, как

. Каркас окунули в мыльный раствор, вынули и, удерживая каркас в вертикальной плоскости, проткнули образовавшуюся мыльную плёнку между кусками нити

с длинами, относящимися как

. Нить приняла форму, показанную на рисунке. Углы, образованные касательными к кускам нити вблизи узелков, все одинаковы и равны

, а куски нити, прикреплённые к каркасу, вблизи узелков наклонены под углами

к горизонту. Расстояние между узелками

, коэффициент поверхностного натяжения мыльного раствора

. Мыльная плёнка настолько тонкая, что её массой можно пренебречь. Какова масса

всей мокрой нити?

Скрыть решение

Решение

Покажем, что суммарная сила, действующая на всю нить со стороны мыльной плёнки, равна нулю. Действительно, если бы на месте замкнутого нитяного кольца находилась мыльная плёнка, то она была бы в положении равновесия. По условию задачи массой мыльной плёнки можно пренебречь. Поэтому указанная суммарная сила и равна нулю.

Поскольку углы, образованные касательными к кускам нити вблизи узелков, равны , и сумма сил, действующих на каждый узелок, равна нулю, то силы натяжения всех кусков нити вблизи узелков одинаковы. Обозначим их величины через . Силы натяжения наклонных кусков нити, прикреплённых к проволочному каркасу, вблизи узелков по условию составляют углы с горизонтом (см. рис.). Поэтому их суммарная проекция на вертикаль равна . Эта проекция компенсирует силу тяжести, действующую на два куска нити между узелками.

$\includegraphics{0333/73}$

Пусть общая длина нити равна . Тогда куски нити, выгнутые вверх и вниз, имеют длины, равные, соответственно, и , и массы и . Поэтому масса кусков нити между узелками равна . Отсюда получаем, что .

Каждый кусок нити находится в равновесии. Условие равновесия, например, куска нити длиной , выгнутого вверх, предполагает, что сумма всех сил, действующих на этот кусок, равна нулю. Докажем, что сила, действующая на этот кусок со стороны мыльной плёнки, равна и направлена вверх. Для этого мысленно соединим невесомым жёстким стержнем узелки нитей и натянем мыльную плёнку на площадку, ограниченную этим стержнем и верхним участком нитяного кольца. Стержень для поддержания его равновесия необходимо тянуть вниз с силой, равной (коэффициент 2 в формуле возникает потому, что у мыльной плёнки две поверхности).

Стержень, в свою очередь, с такой же силой действует на натянутый нами участок плёнки. Поскольку этот участок плёнки невесом, то плёнка ровно с такой же силой тянет верхний кусок нити вниз. На нить с двух сторон, сверху и снизу, действуют силы поверхностного натяжения плёнки, и их сумма равна нулю. Если вновь убрать мысленно натянутый участок плёнки, то сила, действовавшая с его стороны на нить, исчезнет. Останется только сила, действующая на кусок нити сверху и равная , что и требовалось доказать.

Запишем условие равновесия данного куска нити. Вниз на него действуют сила тяжести , и сумма проекций сил натяжения, равная , а вверх — сила поверхностного натяжения, равная, как мы только что доказали, . Поэтому .

Подставляя в это уравнение найденную выше величину , находим .

Ответ