Построение многоугольников по серединам их сторон


Задача. Пусть на плоскости даны n точек M1, M2, …, Mn. Требуется построить n-угольник A1A2An, для которого данные точки являются серединами сторон (M1 - середина A1A2, M2 - середина A2A3 и т.д.). В данной задаче мы называем n-угольником любую замкнутую ломаную с n вершинами.

Эту задачу мы будем называть основной. В ходе решения нужно не только найти построение, но и провести исследование задачи, т.е. выяснить, всегда ли она имеет решение и сколько решений она может иметь, как ответ на эти вопросы зависит от числа и расположения данных точек.

  1. Решите основную задачу при n = 3. Убедитесь, что она всегда имеет единственное решение.
  2. Решите основную задачу при n = 4. Докажите, что она либо не имеет решений, либо имеет бесконечно много решений (и тогда в качестве A1 можно взять любую точку, отличную от данных середин). При каком расположении данных точек решения есть?
  3. Исследуйте основную задачу при n = 5. Для этого отметьте на чертеже-модели 5 точек M1, M2, …, M5 и произвольную точку A1, постройте точку A2, симметричную A1 относительно M1, затем точку A3, симметричную A2 относительно M2, и т.д. Затем попробуйте передвинуть A1 так, чтобы эта точка совпала с последней построенной точкой A6. Всегда ли удается это сделать? Как найти (построить) то положение первой точки, при котором она совпадает с последней? (Указание. Постройте середину отрезка A1A6 и подвигайте точку A1.)
  4. Повторите эксперимент для n = 4, 3, 6, а также для n = 2 и других значений n. Как при разных n связаны точка A1 и точка An+1, полученная из нее после n центральных симметрий?
  5. Как построить точку A1 при тех значениях n, при которых задача имеет единственное решение? Как должны быть расположены точки Mi при остальных значениях n, чтобы задача имела решение? Докажите, что в этих случаях решений бесконечно много.
  6. Попробуйте найти какие-нибудь условия на расположение данных точек, при которых построенная ломаная будет простой (т.е. не имеет самопересечений).

Для запуска интерактивных моделей-апплетов у вас должен быть установлен плагин Java.
Загрузить Java Runtime Environment 5.0