Симметрии многоугольников


Предлагаемая ниже серия задач посвящена исследованию симметрий многоугольников. Решив первые задачи, вы найдете все виды четырёхугольников, отличающиеся друг от друга количеством и расположением осей и центров симметрии. В следующих задачах рассматривается аналогичная задача для многоугольников с произвольным числом сторон.

  1. Докажите, что если ось симметрии многоугольника проходит через его вершину, то она содержит биссектрису угла при этой вершине, а если ось пересекает сторону, то она делит эту сторону пополам и перпендикулярна к ней.
  2. Докажите, что если четырёхугольник имеет центр симметрии, то он является параллелограммом.
  3. Докажите, что если четырёхугольник имеет ровно две оси симметрии, то он является ромбом или прямоугольником, а если 4 – то это квадрат.
  4. Найдите все четырёхугольники с одной осью симметрии.
  5. Докажите, что четырёхугольник не может иметь ровно 3 или больше 4 осей симметрии.
  6. Докажите, что если многоугольник имеет центр симметрии, то у него четное число n = 2k вершин, а центр симметрии является общей серединой k "больших" диагоналей (тех, по обе стороны которых расположено по k сторон).
  7. Многоугольник имеет ровно n осей симметрии. Найдите углы между осями а) при n = 2; б) при n = 3, 4; в) при произвольном n.
  8. Докажите, что если многоугольник имеет n > 2 осей симметрии, то все они проходят через одну точку, и при четном n эта точка – центр симметрии многоугольника.
  9. Сколько осей симметрии может иметь n-угольник при n = 3, 5, 6?
  10. Сколько вершин может быть у многоугольника, имеющего n осей симметрии? Как могут быть расположены его вершины относительно осей?