Задача по физике N309

В установленной вертикально U-образной трубке площадью

с внутренним объёмом

находится жидкость плотностью

. Колена трубки одинаковы по высоте, одно из них открыто в атмосферу, а второе герметично соединено с сосудом объёмом

, внутри которого находится идеальный одноатомный газ. Жидкость заполняет всю U-образную трубку (см. рисунок). Найдите количество теплоты, которое необходимо сообщить газу в сосуде для того, чтобы медленно вытеснить из трубки половину жидкости. Атмосферное давление постоянно и равно

. Давлением паров жидкости, поверхностным натяжением и потерями тепла пренебречь. Радиус полукруглого участка трубки, соединяющего её колена, считайте много меньшим высоты трубки.

Скрыть решение

Решение

Для того, чтобы жидкость вытеснялась из трубки медленно, газ также нужно нагревать очень медленно, регулируя количество подводимого тепла так, чтобы вытекающая жидкость в течение всего процесса не приобретала кинетическую энергию. При этом всё сообщаемое газу тепло будет уходить на изменение его внутренней энергии и на совершение им работы при расширении.

В начальном состоянии газ в сосуде находится под атмосферным давлением и имеет некоторую температуру . Пренебрежём объёмом и высотой столба жидкости, находящейся в полукруглом участке трубки. Тогда длина трубки равна . Следовательно, в конечном состоянии объём газа увеличится до величины , его давление станет равно , а температура изменится до некоторой величины . Запишем уравнение Клапейрона для начального и конечного состояний газа:

$\begin{displaymath} \mathchoice{\displaystyle\frac{p_0V_0}{T_0}}{\displaystyle\... ...isplaystyle\frac{3V_0}{2}}{\displaystyle\frac{3V_0}{2}}}{T}}. \end{displaymath}$

Отсюда, с учётом уравнения состояния

, получим:

$\begin{displaymath} T - T_0 = \mathchoice{\displaystyle\frac{T_0}{p_0 V_0}}{\d... ...2}{4S}}{\displaystyle\frac{3\rho\textsl{g}V_0^2}{4S}}\right). \end{displaymath}$

Таким образом, в течение процесса температура газа увеличится, и его внутренняя энергия возрастёт на величину

$\begin{displaymath} \Delta U = \mathchoice{\displaystyle\frac{3}{2}}{\displayst... ...g}V_0^2}{8S}}{\displaystyle\frac{9\rho \textsl{g}V_0^2}{8S}}. \end{displaymath}$

Найдём теперь работу, совершаемую газом при расширении. Она пойдёт на увеличение потенциальной энергии жидкости и на совершение работы против силы атмосферного давления. Примем уровень основания трубки за начало отсчёта потенциальной энергии. Тогда в начальном состоянии потенциальная энергия находящейся в трубке жидкости равна

$\begin{displaymath} E_1 = \rho V_0 \textsl{g}\cdot \mathchoice{\displaystyle\fr... ...}}{\displaystyle\frac{V_0}{4S}}{\displaystyle\frac{V_0}{4S}}. \end{displaymath}$

После того, как половина жидкости вытечет из трубки (а это означает, что она будет вытеснена на высоту ), потенциальная энергия жидкости станет равна

$\begin{displaymath} E_2 = \mathchoice{\displaystyle\frac{\rho V_0}{2}}{\displa... ...{g}V_0^2}{8S}}{\displaystyle\frac{3\rho\textsl{g}V_0^2}{8S}}. \end{displaymath}$

Работа против постоянной силы атмосферного давления, совершённая при вытеснении жидкости из трубки, равна . Следовательно, полная работа, совершаемая газом при расширении, равна

$\begin{displaymath} \Delta A = E_2 - E_1 + A_0 = \mathchoice{\displaystyle\fr... ...splaystyle\frac{p_0 V_0}{2}}{\displaystyle\frac{p_0 V_0}{2}}. \end{displaymath}$

Искомое количество теплоты теперь можно определить при помощи первого начала термодинамики:

$\begin{displaymath} \Delta Q = \Delta U + \Delta A = {\mathchoice{\displaystyle... ...}{\displaystyle\frac{{\rho \textsl{g}V_{0}}}{{S}}}}} \right). \end{displaymath}$

Ответ

$\begin{displaymath} \Delta Q = {\mathchoice{\displaystyle\frac{{5}}{{4}}}{\disp... ...\displaystyle\frac{{\rho \textsl{g} V_{0}}}{{S}}}}} \right). \end{displaymath}$