Задача No. 52456

В окружность радиуса 2 вписан правильный шестиугольник ABCDEF. Из точки K, лежащей на продолжении стороны AF так, что KA < KF и KA = $\sqrt{11}$ - 1, проведена секущая KH, пересекающая окружность в точках N и H. Известно, что внешняя часть секущей KN равна 2 (KN = 2), а угол NFH — тупой. Найдите угол HKF.

Скрыть решение

Подсказка

KA^.FK = KN^.KH.

Решение

Первый способ.

Пусть O — центр окружности; P, Q — середины хорд NH и AF. Поскольку KA^.FK = KN^.KH, то

( $\displaystyle \sqrt{11}$ - 1)( $\displaystyle \sqrt{11}$ + 1) = 2(2 + NH).

Отсюда находим, что NH = 3, KH = KN + NH = 5.

Из прямоугольных треугольников HPO и FQO находим, что

OP = $\displaystyle \sqrt{OH^{2}-PH^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{4-\frac{9}{4}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{7}}{2}}$ ,

OQ = $\displaystyle \sqrt{OA^{2}-AQ^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{4-1}$ = $\displaystyle \sqrt{3}$ ,

Выразим с помощью теоремы косинусов отрезок PQ из треугольников KPQ и OPQ и решим полученное уравнение относительно косинуса искомого угла.

Обозначим, $\angle$ PKQ = $\angle$ POQ = $\varphi$ . Тогда

KP² + KQ² - 2KP^.KQ cos $\displaystyle \varphi$ = OP² + OQ² - 2OP^.OQ cos $\displaystyle \varphi$ .

Следовательно,

cos $\displaystyle \varphi$ = $\displaystyle {\frac{KP^{2}+KQ^{2}-OP^{2}-OQ^{2}}{2(KP\cdot KQ-OP\cdot OQ)}}$ =

= $\displaystyle {\frac{\frac{49}{4}+11-\frac{7}{4}-3}{2(\frac{7}{2}\cdot \sqrt{11}- \frac{\sqrt{7}}{2}\cdot \sqrt{3})}}$ = $\displaystyle {\frac{37}{2(7\sqrt{11}-\sqrt{21})}}$ = $\displaystyle {\frac{7\sqrt{11}+\sqrt{21}}{28}}$ .

Второй способ.

Пусть O — центр окружности; P, Q — середины хорд NH и AF. Поскольку KA^.FK = KN^.KH, то

( $\displaystyle \sqrt{11}$ - 1)( $\displaystyle \sqrt{11}$ + 1) = 2(2 + NH).

Отсюда находим, что NH = 3, KH = KN + NH = 5. Далее последовательно находим:

OQ = $\displaystyle \sqrt{KQ^{2} + OQ^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{KO^{2} - KP^{2}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{7}}{2}}$ ,

sin $\displaystyle \angle$ QKO = $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{14}}}$ , sin $\displaystyle \angle$ PKO = $\displaystyle {\frac{1}{2\sqrt{2}}}$ , cos $\displaystyle \angle$ QKO = $\displaystyle {\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{14}}}$ ,

cos $\displaystyle \angle$ PKO = $\displaystyle {\frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}}}$ .

Следовательно,

sin $\displaystyle \angle$ HKF = sin( $\displaystyle \angle$ QKO - $\displaystyle \angle$ PKO) =

= $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{14}}}$ ^. $\displaystyle {\frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}}}$ - $\displaystyle {\frac{1}{2\sqrt{2}}}$ ^. $\displaystyle {\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{14}}}$ = $\displaystyle {\frac{7\sqrt{3} - \sqrt{77}}{28}}$ .

Ответ

arccos ${\frac{37}{2(7\sqrt{11} - \sqrt{21})}}$ = arccos ${\frac{7\sqrt{11}+\sqrt{21}}{28}}$ = arcsin ${\frac{7\sqrt{3} - \sqrt{77}}{28}}$ .

Условие

Подсказка

Решение

Ответ