Скрыть решение
Подсказка
KA . FK = KN . KH.
Решение
Первый способ.
Пусть O — центр окружности; P, Q — середины хорд NH и AF.
Поскольку
KA . FK = KN . KH, то
(

- 1)(

+ 1) = 2(2 +
NH).
Отсюда находим, что
NH = 3,
KH =
KN +
NH = 5.
Из прямоугольных треугольников HPO и FQO находим, что
Выразим с помощью теоремы косинусов отрезок PQ из
треугольников KPQ и OPQ и решим полученное уравнение
относительно косинуса искомого угла.
Обозначим,
PKQ =
POQ =
. Тогда
KP2 +
KQ2 - 2
KP . KQ cos

=
OP2 +
OQ2 - 2
OP . OQ cos

.
Следовательно,
cos

=

=
Второй способ.
Пусть O — центр окружности; P, Q — середины хорд NH и AF.
Поскольку
KA . FK = KN . KH, то
(

- 1)(

+ 1) = 2(2 +
NH).
Отсюда находим, что
NH = 3,
KH =
KN +
NH = 5.
Далее последовательно находим:
sin
QKO =

, sin
PKO =

, cos
QKO =

,
cos
PKO =

.
Следовательно,
sin
HKF = sin(
QKO -
PKO) =
Ответ
arccos
= arccos
= arcsin
.