Урок 3.16 Использование свойства монотонности функции

Пример 2

Найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение имеет решение.

Решение

Рассмотрим функцию , монотонно возрастающую на луче [–a; +¥).
Тогда задачу можно переформулировать следующим образом: найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение f(f(t)) = t имеет хотя бы одно решение t0 Î [–1; 1].
Так как все решения уравнения f(f(t)) = t совпадают с решениями уравнения f(t) = t, то переходим к равносильному уравнению . Решим его:
.
Функция отображает отрезок [0; 1] на отрезок , то есть последнее уравнение имеет решение на отрезке [0; 1] только при выполнении двойного неравенства , то есть при .

Ответ

 

ИИСС "Алгебраические задачи с параметрами"