Урок 1.9. Логарифмические уравнения
с параметром

Пример 3

Решить при всех b: logx(x – 2b) = –1.

Решение

Из определения логарифма следует, что x > 0, x ≠ 1 и x– 2b > 0. Получаем уравнение x – 2b = x–1. Так как x > 0, то x – 2b > 0.
Таким образом, нужно найти решения уравнения x – 2b = 1/ x, удовлетворяющие неравенствам x > 0, x ≠ 1.

Умножая на x обе части уравнения, находим x2 – 2bx = 1.
Вычитая единицуиз обеих частей уравнения, получим квадратное уравнение
x2 – 2bx – 1 = 0. Вычислим одну четвертую часть дискриминанта
D/4 = b2 + 1 > 0. Так как дискриминант – положительный, то уравнение имеет два решения .

Из оценок  следует, что  и .
Таким образом, квадратное уравнение при всех значениях параметра b имеет одно положительное решение . Проверим его на выполнение ограничения x ≠ 1.

Для этого найдем все значения параметра b, при которых положительное решение квадратного уравнения равно единице, т.е. .
Тогда , и возводя в квадрат обе части уравнения, получим 
b
2 + 1 = (1 – b)2
или b2 + 1 = 1 – 2b + b2.
Вычитая 1 – 2b + b2 из обеих частей уравнения, получаем: 2b = 0. Значит,
b = 0. Подставляя b = 0 в равенство , получим x = 1.

Следовательно, уравнение не имеет решений при b = 0 и имеет единственное  решение  в остальных случаях.

Ответ

 

ИИСС "Алгебраические задачи с параметрами"