Построим последовательность (an), ни один из членов которой не равен сумме нескольких других, такую, что при всех n одновременно an ≤ n10 и an ≤ 100n7/2. Сначала положим bm = 105m - 2 для всех натуральных m ≥ 2, то есть b2 = 10, b3 = 100 000, b4 равно единице с 25 нулями, и т. д. Последовательность (an) будем строить "по пачкам". Первую пачку возьмём состоящей из одного числа — единицы. В качестве m-й пачки при m ≥ 2 возьмём арифметическую прогрессию с первым членом 2bm + 1, разностью 2bm и числом членов, равным bm2/2:
Отсюда заключаем, что ни один член построенной последовательности (an) не равен сумме нескольких других.
Проверим теперь, что an ≤ 100n7/2 при любом n. При n = 1 это очевидно. Если an лежит во второй пачке, то an ≤ 1001 < 100 . 27/2 ≤ 100n7/2. Пусть an лежит в m-й пачке и m ≥ 3. Представим am в виде 2kbm + 1 (1 ≤ k ≤ bm2/2) и рассмотрим два случая.
1o. k ≤ bm - 12. Тогда
2o. k > bm - 12. Ясно, что номер an в m-й пачке не превосходит его номера в последовательности, то есть k
б) Ответ: такой последовательности не существует.
Докажем, что хотя бы один член последовательности (an) такой, что an < 100n3/2 при всех n = 1, 2,... равен сумме нескольких других. (Конечно, число 100 здесь можно заменить любой константой; от показателя 3/2 в нашем доказательстве
нужно, чтобы он был меньше ( + 1)/2.)
Без ограничения общности можно считать нашу последовательность возрастающей.
Рассмотрим прямоугольную таблицу с 1030 строками и 1018 столбцами. Присвоим её строкам номера от 1030 + 1 до 2 . 1030, а столбцам — номера от 1 до 1018. На пересечении n-й строки и k-го столбца напишем число
cn, k = (a1 + a2 + ... + ak) + an). Оно не превосходит
Так как в таблице выписано 1048 чисел, каждое из которых может принимать менее 4 · 1047 значений, какие-нибудь два из этих чисел совпадают. Пусть, например, cn, k = cm, l. Поскольку в n-й строке все числа различны, n ≠ m. Можно считать, что n > m (случай m > n аналогичен). Равенство cn, k = cm, l означает, что
откуда k < l и an = (ak + 1 + ... + as) + am. Так как при этом s ≤ 1018 < m, получаем, что an представляется в виде суммы нескольких других членов последовательности.