Графическое решение кубических уравнений

Мы уже говорили, что уже арабские математики средневековья владели всей теорией решения квадратных уравнений. Другое дело – уравнения кубические. Если решение квадратных уравнений может быть найдено с помощью определенных построений циркулем и линейкой (эти построения, так называемые «приложения площадей», были известны уже древним грекам), то корень кубического уравнения, вообще говоря, невозможно построить циркулем и линейкой. Поэтому для их решений были нужны другие методы. Во-первых, существовали приближенные методы вычисления корней, с помощью которых можно было найти корень с любой заданной точностью. А во-вторых, для анализа разрешимости уравнения, числа его корней и примерной их оценки применялись графические методы.

Под графическим решением уравнения f (x) = g (x) мы сейчас обычно понимаем (в простейшем случае) построение графиков функций y = f (x) и y = g (x) и нахождение абсцисс точек их пересечения. В более общем случае уравнение может быть сведено к системе каких-либо двух уравнений с двумя неизвестными – не обязательно эти уравнения должны иметь форму y = f (x) и y = g (x). Каждое из уравнений трактуется как уравнение некоторой кривой на координатной плоскости; координаты точек их пересечения этих кривых удовлетворяют обоим уравнениям, и, следовательно, являются решением системы, по ним можно получить и корень исходного уравнения. Разумеется, с помощью графического решения, как правило, невозможно найти значение корней уравнения точно. Тем не менее, оно часто бывает полезным для того, чтобы приблизительно определить их значение или получить общее представление о числе положительных и отрицательных корней и т. п.

Хотя у древних греков не было идеи графиков функций в современном смысле, они владели определенной техникой, которую мы бы, в переводе на современный язык, сочли именно графическим решением уравнений. Задача, которую было необходимо решить, формулировалась в виде некоторого соотношения (уравнения), которое затем переводилось в форму двух соотношений между двумя неизвестными величинами (система двух уравнений с двумя неизвестными). Эти две величины трактовались как расстояния от точки до двух перпендикулярных прямых (фактически, осей координат): строились две кривые, соответствующие двум данным соотношениям между этими расстояниями (координатами), и находились точки пересечения этих кривых.

С помощью этой техники греки, а затем и арабы, находили, в частности, решения кубических уравнений. Уже говорилось, что с помощью точек пересечения гиперболы и параболы или двух парабол Менехм строил решение знаменитой задачи об удвоении куба, то есть решал уравнение вида x3 = a. Греки сталкивались и с другими типами кубических уравнений. Так, Архимед рассматривал задачу о делении шара плоскостью на два сегмента, объемы которых находятся в данном отношении (V1 : V2 = k). Эта задача сводится к решению кубического уравнения вида x3 + r = px2. Дело в том, что объем шарового сегмента (как это открыл тот же Архимед) является кубической функцией его высоты (да еще без линейного члена):

V = πH2 (RH / 3).

Это довольно приятное обстоятельство: скажем, площадь кругового сектора зависит от его высоты существенно более сложным образом.

Рис. 1. Задача Архимеда о делении шара в заданном направлении

Архимед построил корень полученного кубического уравнения как координату точки пересечения параболы и гиперболы и произвел тщательный анализ задачи.

Выведите уравнение, соответствующее задаче Архимеда (приняв за x высоту одного из сегментов).

Решение

Арабские математики Средневековья продолжили изучение кубических уравнений, получая для них все новые способы решения с помощью пересечения надлежащим образом расположенных окружностей, гипербол и парабол. Таким способом решались сводимые к кубическим уравнениям задачи о трисекции угла, о построении правильных семиугольника и девятиугольника (что невозможно осуществить при помощи циркуля и линейки). В ряде случаев исследования кубических уравнений имели практическое приложение, например, для составления необходимых астрономам тригонометрических таблиц: так, вычисление sin 1° сводится к нахождению корня кубического уравнения вида x3 + r = qx. Наконец, математик Ибн ал-Хайсам (Альхазен), автор получившей распространение в Европе «Книги оптики», рассмотрел задачу, сводящуюся к уравнению четвертой степени. Это была задача об определении места отражения точки в цилиндрическом зеркале. Ибн ал-Хайсам решил эту задачу с помощью пересечения гиперболы и окружности.

Рис. 2. Задача об отражении в цилиндрическом зеркале

Успехи в исследовании кубических уравнений побудили Омара Хайяма построить общую теорию, охватывающую разные случаи, в «Трактате о доказательствах задач алгебры» (1074). Хайям впервые рассматривает алгебру (ал-джабр) как особую науку, предметом изучения которой является неизвестная величина, соотнесенная с другими известными величинами или числами посредством уравнения, то есть приравнивания различных степеней. Главным содержанием трактата является графическое решение кубических уравнений. Эти уравнения классифицируются в соответствии с их формой, причем Хайям исследует их в общем виде, полагая коэффициенты произвольными положительными величинами: при этом не используется никаких алгебраических обозначений, уравнения выражаются словами! Всего у Хайяма получилось 14 классов. Для каждого класса Хайям строит параболы, гиперболы или окружности, при пересечении которых получаются решения, и анализирует условия, при которых данные кривые пересекаются (как и другие средневековые арабские математики, он рассматривал только положительные корни). Для примера Хайям иногда рассматривает уравнения и с конкретными числовыми коэффициентами и находит их приближенное решение, комбинируя свой геометрический метод с некоторыми расчетами.

Хайям строго придерживался принципа однородности размерностей. Например, уравнение x3 + px = q (в современных обозначениях) он приводил к виду x3 + a2x = a2b, а затем сводил к системе уравнений:

Графиком второго уравнения является парабола (очевидно), графиком первого – окружность, проходящая через начало координат.

Рис. 3. Графическое решение кубического уравнения x3 + px = q

Уравнение x2 + y2 = bx можно привести к виду (xb/2)2 + y2 = (b/2)2. Выражение в левой части равно квадрату расстояния между точками с координатами (xy) и (b/2; 0). Таким образом, график уравнения – это множество таких точек с координатами (xy), которые находятся на расстоянии b/2 от точки с координатами (b/2; 0). Это окружность с центром на оси Ox, проходящая через начало координат (радиус окружности равен b/2).

Абсцисса точки пересечения, не совпадающая с началом координат, является решением исходного уравнения.

Выразим y из второго уравнения: y = x2/a. Подставим это значение в первое уравнение: x2 + x4/a2 = bx. Отбросив решение x = 0, сократим обе части на x: x + x3/a2 = b. Домножив на a2, получим исходное уравнение.

Из рассмотрения этих кривых ясно, что при любых значениях параметров данное уравнение имеет единственное положительное решение.

 

Несколько более сложным является рассмотрение уравнения x3 + qx = px2 + r, которое Хайям приводит к виду x3 + a2x = px2 + a2b, а затем сводит к системе:

График первого уравнения – окружность с центром на оси Оx, проходящая через точки с координатами (b; 0) и (p; 0). (При p = b она вырождается в единственную точку).

Уравнение можно привести к виду (x – (b + p) / 2)2 + y2 = ((bp) / 2)2, а это – уравнение окружности с центром в точке ((b + p) / 2; 0) и с радиусом (bp) / 2. Непосредственной подстановкой в уравнение пар x = b, y = 0 и x = p, y = 0 легко убедиться, что окружность проходит через указанные точки.

График второго уравнения – гипербола, одна из асимптот которой – ось Oy, а другая – прямая y = a.

В самом деле, если мы осуществим замену y′ = y – a, то есть сдвинем график на отрезок a в отрицательном направлении оси Oy, данное выражение перейдет в xy′ = –ab, или y′ = –ab/x, что является графиком обратной пропорциональности – гиперболой с осями x = 0 и y′ = 0, то есть y = a).

Абсцисса точки пересечения графиков, отличной от точки (b; 0), будет решением исходного уравнения.

Из второго уравнения выражаем y = a – ab/x = a (1 – b/x) = a (x – b) / x. Подставив это выражение в первое уравнение, получим a2 (x – b)2 / x2 = (x – b) (p – x). Поделив обе части на (x – b), домножив на x2 и раскрыв скобки, получим a2x – a2b = x2p – x3, что эквивалентно исходному уравнению.

Хайям рассмотрел два случая: p > b и p < b.

Рис. 4. Графические решения уравнений четвертой степени

Он сделал вывод, что в обоих случаях решение существует и единственно, однако не заметил того, что в первом случае могут существовать еще два положительных решения. Действительно, заметить возможность еще двух пересечений данных кривых на чертеже нелегко.

Рис. 5. Четыре корня уравнения четвертой степени

Во всех остальных случаях анализ одного или двух имеющихся положительных корней у Хайяма совершенно правильный (из теоремы Виета – можно вывести, что три положительных корня могут существовать только у уравнения вида x3 + qx = px2 + r). Лишь в начале XVI в. итальянские математики Тарталья и Кардано, открывшие общее алгебраическое выражение для корней кубического уравнения (которое пытался, но не смог найти Хайям), установили, что такое уравнение может иметь три корня.