Векторный метод

Мы рассмотрим здесь несколько применений векторного метода.

Пример 1. Задача на коллинеарность векторов. Рассмотрим пятиугольник ABCDE; M, K, N и L соответственно середины сторон BC, CD, DE и EA. Докажем, что отрезок, соединяющий середины MN и KL, параллелен AB и равен AB/4.

Пример 2. Задача на скалярное произведение векторов. Пусть A, B и C — углы некоторого треугольника. Докажем, что имеет место неравенство

cos A + cos B + cos C 3/2.

Пример 3. Задача на единственность разложения. Докажем, что любой вектор плоскости может быть разложен по двум заданным неколлинеарным векторам и притом единственным образом.

Пример 4. Векторное доказательство теоремы о высотах. Используя свойства скалярного произведения, можно дать еще одно (четвертое!) доказательство теоремы о том, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.