АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ
является составной частью одного из современных быстро развивающихся разделов математики математической логики. Математическая логика применяется в информатике, позволяет моделировать простейшие мыслительные процессы. Одним из занимательных приложений алгебры высказываний решение логических задач.
Объекты алгебры высказываний. Операции над высказываниями. Таблицы истинности.
Алгебра это наука, которая изучает множество некоторых элементов и действия (операции) над ними. Если элементы алгебры натуральные числа, а операции сложение и умножение, то это алгебра натуральных чисел. Действия с направленными отрезками (векторами) изучает векторная алгебра.
Объектами алгебры высказываний являются высказывания. Высказывание это истинное или ложное повествовательное предложение. Повествовательное предложение, в котором говорится об одном-единственном событии, называется простым высказыванием. Например, предложение «Луна спутник Земли» есть простое высказывание, предложение «Не сорить!» не является высказыванием.Высказывания обозначаются большими буквами латинского алфавита. Если высказывание A истинно, то пишут A = 1, если ложно, то используют запись A = 0. Как и в других алгебрах, в алгебре высказываний над ее объектами (высказываниями) определены действия, выполняя которые получают новые высказывания. Объединение двух высказываний в одно при помощи союза «И» называется операцией логического умножения. Полученное таким образом высказывание называется логическим произведением. Например, высказывание A «В лесу растут грибы», высказывание B «Льюис Кэрролл математик», составим произведение этих высказываний AB «В лесу растут грибы и Льюис Кэрролл математик». Истинность произведения высказываний зависит от истинности перемножаемых высказываний и может быть определена с помощью следующей таблицы:
![]() ![]()
![]()
Тождественные высказывания. Эквивалентные высказывания. Формулы Августа де Моргана. Среди высказываний особое место занимают те, в таблице истинности которых либо одни единицы, либо только нули. Это означает, что высказывание либо всегда истинно, либо ложно, независимо от истинности входящих в него высказываний. Например, высказывание ![]() ![]() Сложные высказывания, истинные при любых значениях входящих в них других высказываний, называются тождественно истинными, а высказывания, ложные при любых значениях входящих в них других высказываний, называются тождественно ложными. Тождественно истинные или тождественно ложные высказывания, если они встречаются в формулах, заменяются в них, соответственно единицей или нулем: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]()
Операции алгебры высказываний обладают следующими важными свойствами:
![]() В алгебре высказываний, как и в другой алгебре, возможны тождественные преобразования, но логическое сложение и умножение обладают специфическими свойствами A + A = A, AA = A, A + 1 = A. Это приводит к необычности действий над многочленами алгебры высказываний. Пусть нужно перемножить два сложных высказывания:( A + B)(A + C) = AA + AC + AB + BC = A + AB + AC + BC. Рассмотрим теперь два первых слагаемых A + AB = A(1 + B) = A1 = A и аналогично A+ AC = A. Таким образом, окончательно получаем (A + B)(A + C) = A+ BC. Преобразование A + AB = A очень часто встречается в алгебре высказываний и называется «поглощение». Есть еще один вид столь же часто встречающегося тождественного преобразования, которое называется «склеивание».Суть его состоит в следующем: ![]() ![]() ![]() ![]() Задача: Алеша, Боря и Гриша откопали древний сосуд. О том, где и когда он был изготовлен, каждый из школьников высказал по два предположения:Алеша: «Это сосуд греческий и сосуд изготовлен в V веке»;Боря: «Это сосуд финикийский и сосуд изготовлен в III веке»;Гриша: «Это не греческий сосуд и изготовлен он в IV веке».Учитель истории сказал ребятам, что каждый из них прав только в одном их двух своих предположений. Где и в каком веке изготовлен сосуд? Решение: Введем обозначения простых высказываний: «Это сосуд греческий» ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() На примере решения логической задачи продемонстрирована смысловая взаимосвязь входящих в сложное высказывание простых высказываний. В состав сложных высказываний могут входить взаимосвязанные по смыслу высказывания, однако Высказывания могут быть и противоречивыми. Таким образом, одним из применений алгебры высказываний является использование ее для анализа сложных , а подчас противоречивых текстов. Алгебра высказываний позволяет научиться моделировать простейшие мыслительные процессы. «Методы эти позволяют Вам обрести ясность мысли, способность находить собственное оригинальное решение трудных задач, вырабатывают у Вас привычку к систематическому мышлению и, что особенно ценно, умение обнаруживать логические ошибки, изъяны и пробелы тех, кто не пытался овладеть привлекательным искусством логики. Попытайтесь. Вот все, о чем я прошу вас», Льюис Кэрролл (псевдоним Чарльза Лютвиджа Доджсона (18321898)) известный английский математик и литератор. Анна ЧугайноваВозлинская М.В. Нестандартная математика в школе. Москва, «Лайда», 1993 Логика и комбинаторика. Составитель А.А. Егоров. Приложение к журналу КВАНТ, 2002, № 5
|