Объекты алгебры высказываний. Операции над высказываниями. Таблицы истинности. Алгебра – это наука, которая изучает множество некоторых элементов и действия (операции) над ними. Если элементы алгебры – натуральные числа, а операции – сложение и умножение, то это алгебра натуральных чисел. Действия с направленными отрезками (векторами) изучает векторная алгебра.

Объектами алгебры высказываний являются высказывания. Высказывание – это истинное или ложное повествовательное предложение. Повествовательное предложение, в котором говорится об одном-единственном событии, называется простым высказыванием. Например, предложение «Луна – спутник Земли» есть простое высказывание, предложение «Не сорить!» не является высказыванием.

Высказывания обозначаются большими буквами латинского алфавита. Если высказывание A истинно, то пишут A = 1, если ложно, то используют запись A = 0.

Как и в других алгебрах, в алгебре высказываний над ее объектами (высказываниями) определены действия, выполняя которые получают новые высказывания. Объединение двух высказываний в одно при помощи союза «И» называется операцией логического умножения. Полученное таким образом высказывание называется логическим произведением. Например, высказывание A – «В лесу растут грибы», высказывание B – «Льюис Кэрролл – математик», составим произведение этих высказываний AB – «В лесу растут грибы и Льюис Кэрролл – математик». Истинность произведения высказываний зависит от истинности перемножаемых высказываний и может быть определена с помощью следующей таблицы:

А	В	АВ
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

Объединение двух высказываний в одно с помощью союза «ИЛИ», употребляемого в неисключающем смысле, называется операцией логического сложения. Например, высказывание A – «Декабрь – зимний месяц», В – «Летом иногда идет дождь», определим высказывание A+B – «Декабрь – зимний месяц или летом иногда идет дождь». Установить истинность логической суммы можно с помощью следующей таблицы:

А	В	А+В
1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0

Операция логического отрицания осуществляется над одним высказыванием. Выполнить операцию логического отрицания (обозначается ) – значит получить из данного высказывания новое, присоединяя слова «неверно, что …» ко всему высказыванию. Истинность высказывания определяется таблицей:

1	0
0	1

Пользуясь определенными выше операциями, можно из простых высказываний образовывать сложные. Например, всевозможные значения для высказывания можно записать в виде таблицы

A	B
1	1	0	0	1
1	0	1	1	0
0	1	0	0	1
0	0	1	0	1

Тождественные высказывания. Эквивалентные высказывания. Формулы Августа де Моргана. Среди высказываний особое место занимают те, в таблице истинности которых либо одни единицы, либо только нули. Это означает, что высказывание либо всегда истинно, либо ложно, независимо от истинности входящих в него высказываний. Например, высказывание всегда истинно, а высказывание всегда ложно. Доказать это можно составив таблицу истинности этих высказываний.

Сложные высказывания, истинные при любых значениях входящих в них других высказываний, называются тождественно истинными, а высказывания, ложные при любых значениях входящих в них других высказываний, называются тождественно ложными.

Тождественно истинные или тождественно ложные высказывания, если они встречаются в формулах, заменяются в них, соответственно единицей или нулем:

, .

Среди высказываний встречаются такие, таблицы истинности которых совпадают. Эти высказывания называются эквивалентными. Эквивалентными являются, например, высказывания и (то есть ). Это можно проверить составив таблицы истинности этих высказываний:

A	B
1	1	0	0	0	1	1
1	0	0	1	1	0	0
0	1	1	0	0	1	1
0	0	1	1	0	1	1

Операции алгебры высказываний обладают следующими важными свойствами:

Логическое умножение:	Логическое сложение:
A·B = B·A	A + B = B + A
(AB)C = A(BC)	(A + B)+ C = A + (B + C)
A·A = A	A + A = A
A·1 = A	A + 1 = 1
A·0 = 0	A + 0 = A
A(B + C) = AB + AC	A + BC = (A + B)(A + C)A + BC = (A + B)(A + C)

Отрицание:

Формулы, выделенные жирным шрифтом, называются формулами Августа де Моргана (1806–1871). Используя эти формулы, можно, в частности, преобразовывать высказывания: сложные заменять более простыми.

В алгебре высказываний, как и в другой алгебре, возможны тождественные преобразования, но логическое сложение и умножение обладают специфическими свойствами A + A = A, AA = A, A + 1 = A. Это приводит к необычности действий над многочленами алгебры высказываний. Пусть нужно перемножить два сложных высказывания:

(A + B)(A + C) = AA + AC + AB + BC = A + AB + AC + BC.

Рассмотрим теперь два первых слагаемых A + AB = A(1 + B) = A1 = A и аналогично A+ AC = A. Таким образом, окончательно получаем (A + B)(A + C) = A+ BC.

Преобразование A + AB = A очень часто встречается в алгебре высказываний и называется «поглощение». Есть еще один вид столь же часто встречающегося тождественного преобразования, которое называется «склеивание».

Суть его состоит в следующем: (склеивание произошло по символу B). Соответственно для сложного высказывания склейку можно произвести по символу , то есть имеет место тождественное преобразование .

Решение логических задач. Рассмотренных выше законы алгебры высказываний могут быть применены к решению логических задач Например:

Задача:

Алеша, Боря и Гриша откопали древний сосуд. О том, где и когда он был изготовлен, каждый из школьников высказал по два предположения:

Алеша: «Это сосуд греческий и сосуд изготовлен в V веке»;

Боря: «Это сосуд финикийский и сосуд изготовлен в III веке»;

Гриша: «Это не греческий сосуд и изготовлен он в IV веке».

Учитель истории сказал ребятам, что каждый из них прав только в одном их двух своих предположений. Где и в каком веке изготовлен сосуд?

Решение:

Введем обозначения простых высказываний:

«Это сосуд греческий» – ;

«Это сосуд финикийский» – F;

«Сосуд изготовлен в V веке» – 5;

«Сосуд изготовлен в III веке» – 3;

«Сосуд изготовлен в IV веке» – 4.

Можно составить формулы высказываний каждого из школьников с учетом высказывания учителя. Формула Алешиного высказывания имеет вид G5. Учитель сказал, что Алеша прав только в одном из своих утверждений, поэтому либо G = 1, либо 5 = 1. Истинным будет высказывание , то есть высказывание «Сосуд греческий и изготовлен не в 5 веке или сосуд не греческий и изготовлен в 5 веке». Аналогично, высказывание Бори можно представить формулой и высказывание Гриши формулой .

Полученные формулы можно рассматривать как логические уравнения и решать систему: .

Первое высказывание умножается на второе:

.

Произведение – ложно потому, что сосуд не может быть изготовлен одновременно в Греции и Финикии, произведение – ложно потому, что сосуд не может быть изготовлен одновременно в 3 и 5 вв. После исключения этих высказываний получается следующее уравнение: . Это уравнение умножается на третье логическое уравнение составленной системы:

.

Высказывания исключены как ложные. Из полученного высказывания следует, что «Сосуд изготовлен в Финикии и сосуд изготовлен в 5 веке». Это утверждение согласуется с данными поставленной задачи.

На примере решения логической задачи продемонстрирована смысловая взаимосвязь входящих в сложное высказывание простых высказываний. В состав сложных высказываний могут входить взаимосвязанные по смыслу высказывания, однако Высказывания могут быть и противоречивыми. Таким образом, одним из применений алгебры высказываний является использование ее для анализа сложных, а подчас противоречивых текстов. Алгебра высказываний позволяет научиться моделировать простейшие мыслительные процессы. «Методы эти позволяют Вам обрести ясность мысли, способность находить собственное оригинальное решение трудных задач, вырабатывают у Вас привычку к систематическому мышлению и, что особенно ценно, умение обнаруживать логические ошибки, изъяны и пробелы тех, кто не пытался овладеть привлекательным искусством логики. Попытайтесь. Вот все, о чем я прошу вас», – Льюис Кэрролл (псевдоним Чарльза Лютвиджа Доджсона (1832–1898)) – известный английский математик и литератор.

Анна Чугайнова

Касаткин В.Н., Верлань А.Ф. Секреты кибернетики. Киев, «Радянська школа», 1971
Возлинская М.В. Нестандартная математика в школе. Москва, «Лайда», 1993
Логика и комбинаторика. Составитель А.А. Егоров. Приложение к журналу КВАНТ, 2002, № 5