Урок 17. Выравнивание, решение дополнительных и трудных задач

В курсе 2 класса (как и в курсе 1 класса) в конце каждой четверти мы планируем урок выравнивания (см. комментарии к курсу 1 класса). Как обычно, мы рекомендуем заготовить каждому учащемуся собственный набор задач из числа бумажных и электронных задач, относящихся к этому уроку. Этот набор должен соответствовать силе ученика и отражать вопросы курса, которые для данного ученика оказались наиболее сложными. Лучше, если число бумажных и электронных задач у каждого ребенка будет примерно равным. С каких задач начинать (с бумажных или электронных), решайте сами. Нам кажется наиболее удобным в начале урока организованно посадить всех детей за машины, а затем в индивидуальном порядке переключать ребят на работу с бумажным учебником.

Бумажные задачи

Задача 89. Задача стандартного уровня, знакомая детям. В качестве дополнительной помощи мы напоминаем ребятам (в скобках), что утверждение будет истинным только в том случае, если оно имеет смысл. Заметим, что в данной задаче утверждение не будет иметь смысла для многих слов. Если отбросить все такие слова, то в наборе останется лишь 4 слова: КОСТЁР, ПАСПОРТ, ЖЕРЕБЁНОК, НАБОР. Из них для трех слов утверждение будет истинным.

Задача 90. Стандартная задача на отработку ситуаций бессмысленности утверждений. Здесь ребята снова работают с цепочкой месяцев года, но здесь порядок месяцев по содержанию задачи не важен, поэтому для нас она выступает лишь как цепочка соответствующих названий. Конечно, не во всех названиях месяцев есть и буква А и буква Р, остальные слова дети должны пометить галочкой. Таких слов оказывается ровно 7.

Задача 91. Задача среднего уровня, в которой дети повторяют понятие «все разные» для цепочек. Кроме того, здесь неявно работает договоренность об утверждениях не имеющих смысла. Действительно,  чтобы данное утверждение было истинным, необходимо, чтобы оно имело смысл. Это означает, что в каждой из цепочек должен быть ровно один желтый лимон и ровно одна синяя луковица. Поскольку в каждой из наших цепочек лимон вообще один, значит его сразу можно раскрасить в желтый цвет. Заметим, что цепочки из левого столбца и правого столбца в любом случае будут разными, поэтому цепочки в столбцах можно рассматривать по отдельности. Рассмотрим левый столбец цепочек. Поскольку желтый лимон должен стоять раньше синей луковицы, мы вынуждены раскрасить синим луковицу, следующую за лимоном. Таким образом, у всех цепочек в левом столбце вторые фигурки одинаковые и третьи фигурки одинаковые. Значит сделать цепочки разными мы можем только за счет первой фигурки. Раскрасим все первые фигурки в разные цвета (но не синим цветом!). Теперь все цепочки в левом столбце разные. Остается аналогично рассмотреть 4 цепочки в правом столбце.

Задача 92. Задача среднего уровня на повторение алфавитной цепочки. Самым слабым детям можно разрешить воспользоваться готовой алфавитной цепочкой. Все остальные дети должны перебирать алфавит по памяти, записывая в окно все подходящие буквы. В результате в окне должно оказаться ровно 6 букв.

Задача 93. Эта задача из разряда практических информационных задач. В этом ее сложность и интерес для детей. Здесь все утверждения сформулированы для данной сюжетной картинки и поэтому они требуют анализа ситуации, изображенной на картинке. Определить истинность первых четырех утверждений совсем не сложно, поскольку их содержание относится к тому, что можно увидеть непосредственно, то есть к тому, что явно изображено на картинке (цвет кота, раскраска хвоста, поза кота и т.д.). Что касается последнего и предпоследнего утверждения, здесь все не так просто. Эти утверждения относятся к тому, что на картинке не изображено. Конечно, можно попробовать догадаться. Действительно, если вокруг кота 3 рыбьих скелета, наиболее вероятно, что кот съел 3 рыбы. Однако, с уверенностью этого сказать нельзя. Может быть, что кот несколько рыб съел прямо с костями, а может быть, хозяйка сама отделила рыбу от костей или выбросила часть скелетов еще раньше. В силу введенных в нашем курсе договоренностей мы обязаны во всех случаях, когда не можем с уверенностью определить истинность утверждений считать утверждение неизвестно истинным или ложным. Поэтом последнее и предпоследнее утверждение правильно считать неизвестно истинными или ложными.

Задача 94. Задание ребятам привычное и знакомое, но цепочки в задаче таковы, что выполнить это задание может оказаться для ребят совсем не просто. Действительно, греческие буквы для ребят не более чем закорючки, удержать которые в голове при визуальном сравнении затруднительно. Дополнительную сложность представляет и то, что начала всех цепочек (первые 5 букв) одинаковые. Помочь себе ребенок может тем, что посчитает число букв в каждом слове. Теперь видим, что в одном слове 8 букв, в одном 12 – букв, в двух – 6 букв, в четырех – 10 букв. Слова, которые оказались по одному в своей группе сразу можно вычеркивать, а слова с одинаковым числом букв – сравнивать только между собой. В результате две одинаковые цепочки оказываются среди десятибуквенных слов.

Цепочки греческих букв в задаче на самом деле являются настоящими древнегреческими словами. Приведем перевод этих слов:

(Здесь появилась буква V, которой не было в алфавите, приведенном выше, – так пишется «сигма» в конце слова.)

Вы, конечно, обратили внимание на то, что все эти слова начинаются на макро-. Вот что сказано в энциклопедическом словаре:

Макро... (от греч. makros – большой, длинный), часть сложных слов, означающая: большой, относящийся к большим размерам, величинам (напр., макромолекула).
Если у вас будет время, обсудите с детьми, знают ли они какие-нибудь слова на макро- и что эти слова обозначают.

Задача 95. Наиболее сложная из бумажных задач, предназначенная для сильных учащихся. Здесь требуется построить цепочку, используя несколько утверждений, некоторые из которых истинны, а другие – ложны. Особую сложность представляет использование ложных утверждений. В таких случаях мы предлагаем обычно две стратегии работы. Первая – метод проб и ошибок. Она заключается в том, чтобы построить цепочку в начале как-нибудь и затем проверять для нее все утверждения по очереди. Если значение истинности утверждения не совпадает с данным в задаче, то цепочка перестраивается. После этого для новой цепочки утверждения начинают проверяться снова, начиная с первого. Так ребенок работает до тех пор, пока значения истинности для всех утверждений не совпадут с данными. Такой способ для многих детей понятен, но оказывается более продуктивным в том случае если утверждений не слишком много. А в данной задаче решение таким образом может слишком затянутся. Поэтому более выигрышной оказывается вторая стратегия – рассуждать и сразу строить цепочку наверняка. Для этого есть смысл сначала использовать истинные утверждения (просто потому, что это проще). Итак из истинности третьего утверждения следует, что первая фигурка – олень. Наклеиваем его в первое окно или просто пишем в нем пока карандашом «Олень». Третье фигуркой с конца ставим собаку (из предпоследнего утверждения). В силу истинности пятого утверждения лиса идет раньше кота. При этом вариантов расположения этих фигурок много. Поэтому можно пока взять любое из них (например, поставить лису второй, а кота третьим) или же просто пропустить это утверждение. Теперь рассмотрим ложные утверждения. В силу ложности первого утверждения медведь – не последняя фигурка. Поставим медведя, например четвертым. Используем второе утверждение, делаем вывод, что предпоследняя фигурка – не лиса. Поставим предпоследней любую оставшуюся на листе вырезания фигурку, например, ежа. В силу ложности четвертого утверждения четвертая фигурка – не заяц. У нас это уже выполняется. Если бы это было не так, мы бы поставили четвертой фигуркой какую-либо с листа вырезания (но не зайца!). Наконец, из последнего утверждения делаем вывод, что в цепочке все фигурки разные. Поэтому в свободные окна помещаем другие фигурки, ни одна из которых не равна ни одной из тех, которые уже есть в цепочке. Когда цепочка построена (лучше, если пока животные только разложены, но не наклеены) нужно еще раз проверить значения истинности для всех утверждений. Если все они совпали с данными, можно наклеивать фигурки в окна. После этого ребенок выполняет вторую часть задачи – определяет истинность утверждений для своей цепочки. Различных цепочек, удовлетворяющих условию здесь можно построить довольно много, поэтому вообще-то значения истинности у разных детей не обязаны быть одинаковыми. Совпадать они должны только для тех утверждений, которые уже даны в условии или связаны с ними по содержанию жестко. Так первое, второе, третье, предпоследнее и последнее утверждения в точности повторяют те, что даны в условии задачи и конечно, значения истинности их должны соответствовать данным в задаче (определение истинности этих утверждений можно расценивать как проверку). Что касается четвертого утверждения, какие бы ни были цепочки, оно окажется ложным. Действительно, по условию олень стоит первым, а кот идет позже лисы, значит кот может стоять не раньше третьего места, то есть никак не после оленя. То же относится и к шестому утверждению, оно будет ложным для всех цепочек. Таким образом, разными значения истинности будут только для пятого утверждения. 

Задача 96. Как видите, данная задача отличается от предыдущей только значениями истинности утверждений. При этом истинные в задаче 95 утверждения в этой задаче ложны и наоборот. Стратегии решения здесь в точности такие же, что и в предыдущей задаче. Сначала используем все истинные утверждения – ставим на последнее место медведя, на предпоследнее место – лису, на четвертое – зайца. Заметим, что куда бы теперь мы не поставили кота пятое утверждение будет ложно автоматически, главное зайца не забыть поставить в цепочку (иначе утверждение будет бессмысленным). Например, можно поставить зайца первым, тогда мы сразу сделаем ложным и третье утверждение. Теперь поставим на третье с конца места не собаку, например оленя. Теперь надо позаботиться о том, чтобы в цепочке были две одинаковые фигурки. Только это не должны быть лисы или коты (иначе пятое утверждение потеряет смысл). Теперь на оставшиеся места расставляем оставшиеся фигурки в любом порядке (конечно, лису и кота мы опять не используем).

Электронные задачи

Задача 208. Это наиболее сложный тип заданий – построение объекта по описанию. Но условия здесь на цепочку накладывают не слишком жесткие требования, поэтому и подходящих цепочек достаточно много. Конечно, в нашей цепочке обязательно должны быть 4 фигурки: бык, зебра, бека и заяц, поскольку в противном случае одно из первых двух утверждений не будет иметь смысла. Наибольшее число фигурок в цепочке ограничивается библиотекой фигурок, ведь все фигурки должны быть разными. Что касается порядка фигурок, то два утверждения о порядке (первое и второе) не связаны между собой, поэтому использовать их можно по отдельности. Так, исходя из первого утверждения можно поставить, например, быка первым, а зебру последней. Теперь исходя из второго утверждения можно поставить зайца вторым, а белку – третьей. Конечно, варианты здесь тоже могут быть самыми разными.

Задача 209. Задача на повторение понятия «все разные», среднего уровня сложности. Похожих задач ребята решали довольно много, поэтому не помогайте детям чрезмерно. Как и во многих других задачах, здесь поможет деление задачи на подзадачи. Так среди бусин не будет двух одинаковых, в том случае если не будет одинаковых среди: треугольных, квадратных и круглых. Точно также можно делить бусины не по формам, а по цветам. Например, среди данных бусин есть три синих бусины – круглая, квадратная и треугольная. Разных синих бусин может быть не больше трех, значит синим цветом в этой задаче мы пользоваться уже не можем. Также здесь есть две оранжевых – квадратная и круглая, значит можно раскрасить в оранжевый цвет одну треугольную и больше оранжевым здесь пользоваться нельзя. Аналогично, рассматриваем желтые, затем голубые бусины. После этого перебираем по очереди все оставшиеся цвета, пока все бусины не оказываются раскрашенными.

Задача 210. Задача хоть и сложная, но достаточно развлекательная. Электронная лапка, как обычно, дает возможность легко менять местами фигурки, но главное при этом – не запутаться в последовательности действий. Как видим, утверждения независимы друг от друга, поэтому их можно использовать по отдельности. Тем не менее, нужно следить за тем, чтобы, используя следующее утверждение, дети не нарушали истинность предыдущего. Можно заранее принять к этому какие-то меры или каждый раз начинать проверку утверждений с начала. В качестве необходимых мер можно стараться каждый раз двигать только две фигурки, о которых идет речь в утверждении, а все остальные оставлять не месте. Это не всегда возможно, но в данной задаче – вполне выполнимо. Например, читая первое утверждение, понимаем, что вторую и третью фигурки можно просто поменять местами. Затем в силу второго утверждения меняем местами четвертую и пятую фигурки, а в силу последнего утверждения – первую и последнюю.

Задача 211. В этой задаче дети снова повторяют понятие «все разные». Стратегии решения здесь могут быть самые разные, в частности, более или менее осознанные. Так стратегия более осознанного решения состоит в том, чтобы сразу раскладывать одинаковые снежинки по разным окнам. Например, берем такую-то снежинку, кладем ее в первое окно. Если для нее есть еще одна такая же снежинка, кладем ее в другое окно, а если – две одинаковые снежинки, то по одной из них кладем во второе и третье окно. Если для снежинки нет такой же, то переходим к следующей снежинке. Так мы работаем, пока в первом окне не окажется 5 снежинок. После этого аналогично поступаем со вторым и третьим окном. Можно выбрать и другой способ, основанный на методе проб и ошибок. Например, для начала разложить в каждое окно по 5 снежинок наугад. Теперь проверим, что в каждом окне все снежинки – разные. Если в одном окне оказываются две одинаковые снежинки, меняем одну из них другую снежинку и снова проверяем, что все снежинки разные. Так мы будем поступать до тех пор, пока в каждом окне не будет по 5 разных снежинок.

Задача 212. Сложная задача, ориентированная в основном на сильных учеников. Наибольшую сложность представляет здесь необходимость обеспечить ложность данных утверждений. Для этого как мы говорили, детям придется либо строить отрицания, либо действовать наугад методом многократных проб и ошибок. Надеемся, что наиболее сильные ребята уже начинают понемногу строить отрицания, то есть попросту заменять ложность одного утверждения истинностью другого, совпадающего с ним по содержанию. Если вы чувствуете, что ребенок занят именно этим, поддержите его, порассуждайте вместе (это будет полезно, каков бы ни оказался результат в этой конкретной задаче). В результате мы получаем, что ложность 4 данных утверждений совпадает по содержанию с истинностью следующих четырех утверждений:

В этой цепочке третья бусина не треугольная.
В этой цепочке нет двух одинаковых бусин (все бусины в цепочке – разные).
В этой цепочке не меньше восьми бусин (то есть восемь или больше восьми).
В этой цепочке нет квадратных бусин.

Как видите, подходящих цепочек здесь довольно много. Один из вариантов – цепочка из восьми круглых бусин разных цветов (выстроенных в любом порядке). Цепочка может быть и гораздо длинней, но не длиннее 16 бусин, поскольку у нас 8 разных круглых и 8 разных треугольных бусин (квадратные бусины нам использовать нельзя).

Задача 213. Задача на повторение листов определений «Одинаковые буквы и цифры», «Все разные». Поскольку эта задача для детей знакомая и привычная, предлагать ее можно любому ребенку. Если при этом слабый ребенок запутается, можно предложить ему метод полного перебора с использованием пометок.

Задача 214. Задача на повторение темы «Одинаковые цепочки. Разные цепочки» среднего уровня сложности. К настоящему моменту ребята уже должны понимать – одинаковые цепочки должны состоять из одного и того же набора бусин. Поэтому первая часть задачи заключается в том, чтобы выбрать из этих четырех две цепочки, состоящие из одного и того же набора бусин. Это можно сделать по-разному, в том числе методом исключения. Так видим, в первой цепочке есть треугольная фиолетовая бусина, которой нет ни в одной другой цепочке, значит первая цепочка нам не подходит. В третьей цепочке есть фиолетовая квадратная бусина, которой нет ни в одной другой цепочке, значит она нам тоже не подходит. Остаются вторая и четвертая цепочки, из них и можно построить две одинаковые цепочки, переставляя бусины.