Арифметические действия, неизвестные и параметры

Владение той или иной системой записи чисел само по себе еще не предполагало наличие специальных значков для арифметических действий. В разных ситуациях применялось написание рядом двух чисел, но смысл такого написания, как мы уже видели, в разных случаях был различен. Нередко арифметические действия обозначались просто словами.

Первый раз знак для арифметической операции вычитания или, скорее, для отрицательной величины появился у Диофанта, который вообще использует при рассмотрении уравнений развитую алгебраическую символику, включающую знаки для неизвестного и различных его степеней, в том числе отрицательных, а также для свободного члена в уравнении. Умножение и сложение обозначается просто написанием рядом. Знак для отрицательной величины – производное от первой буквы слова «лейпсис» (недостача), знаки для степеней ΔYи KY образуются из первых букв слов «дюнамис» (сила, степень, квадрат) и «кюбос» (куб), обозначение свободного члена M° – от первых букв слова «монас» (единица), обозначение равенства ι – от первой буквы слова «исос» (равный).

Рис. 1. Арифметические действия и неизвестные у Диофанта, III в. н. э.

Еще более развитую символику применяли индийские математики. В соответствии со слоговым характером их азбуки они использовали знаки, выражающие первые слоги различных слов: «йа» для неизвестной, называемой «йават-тават» (дословно «столько, сколько»), «ка», «ни», «пи», «па», «ло» для нескольких неизвестных, называемых обозначениями цветов (калака – черный, нилака – голубой, питака – желтый, панду – белый, лохита – красный), «ру» для свободного члена (рупа – целый), «йу» для сложения (йута – сложенный), «гу» для умножения (гунита – умноженный), «бха» для деления (бхата – деленный). Вычитание обозначалось точкой над вычитаемым или знаком «+» справа от него. Знаки сложения и умножения часто опускались. Обозначения степеней представляли собой сочетание слогов «ва» (варга – квадрат) и «гха» (гхана – куб), а также слова «гхата» – произведение.

x2
ва
x3
гха
x4
ва ва
x5
ва гха гхата
x6
ва гха
x7
ва ва гха гхата
x8
ва ва ва
x9
гха гха
Таблица 1. Древнеиндийские обозначения степени

Видно, что степени вида 2m3n, образуются по мультипликативному принципу из слогов «ва», повторенных m раз, и «гха», повторенных n раз (6 = 2 ∙ 3, 8 = 2 ∙ 2 ∙ 2, 9 = 3 ∙ 3), а другие степени, так не представляемые, образуются по аддитивному принципу (5 = 2 + 3, 7 = 2 + 2 + 3) с добавлением слова «гхата», которое как раз и означает, что данная степень представляет собой произведение степеней, сумма показателей которых является показателем данной степени (например, x5 = x2 + 3 = x2 ∙ x3). Как мы видели, символика Диофанта для степеней была сугубо аддитивной.

Знака равенства не было: обе части уравнения записывались в две строки так, чтобы одинаковые степени стояли друг под другом. Так, уравнение 10x – 8 = x2 + 1 записывалось в виде:
йа ва 0 йа 10 ру 8
йа ва 1 йа 0 ру 1

а уравнение 8x3 + 4x2 + 10 y2x = 4x3 + 12 y2x – в виде:
йа гха 8 йа ва 4 ка ва йа 10
йа гха 4 йа ва 0 ка ва йа 12

Квадратный корень назывался «мула» (дословно «основание») и обозначался слогом «му». Слово «мула», вероятно, было переводом греческих слов «басис» (основание) или «плевра» (сторона), употреблявшихся для обозначения корня (квадрат у греков рассматривался как площадь плоской фигуры, корень – как длина стороны квадрата). Поскольку слово «мула» также обозначало «корень растения», арабы в VIII в. перевели это слово арабским «джизр», также обозначающим корень растения. В XII в. западные переводчики передали арабское «джизр» латинским radix (корень). Отсюда и наши термины «корень» и «радикал».

Арабские математики, развивая алгебру, тем не менее, не вводили обозначений: их изложение правил, решение задач и т. д. выражалось в словесной форме. Только ал-Каласади, работавший в Гренаде накануне гибели этого мавританского последнего эмирата на юге Испании и умерший изгнанников в Африке (1486 г.), приводит обозначение для квадратного корня из числа: над этим числом ставилась буква «джим» – первая в слове «джизр» (корень). Он же при записи уравнений использовал обозначения для неизвестной и ее квадрата, ставя над соответствующими коэффициентами буквы «шин» и «мим» – первые буквы слов «шай» (вещь, то есть неизвестная) и «мал» (квадрат).

Принципиальный прогресс в арифметических и алгебраических обозначениях был достигнут в Западной Европе в XV–XVII вв. В XV в. появились знаки для сложения и вычитания: и (от лат. слов plus – «больше» и minus – «меньше»: отсюда же наши слова «плюс» и «минус»), а в 1489 г. вышла книга Иоганна Видмана «Быстрый и красивый счет для всего купечества», где впервые употреблены знаки + и – (знак +, вероятно, ведет свое начало от знака &, который, в свою очередь, произошел от лат. et – «и»).

Рис. 2. Первые западноевропейские знаки сложения и вычетания

Для обозначений неизвестной и ее степеней у разных математиков XV–XVI вв. используются разные символы, но, в сущности, очень похожие общие принципы. Для неизвестной применяются буквенные обозначения, происходящие от слов res (лат. «вещь»), cosa (итал. «вещь»), latus (лат. «сторона») и др. Обозначения квадрата неизвестной происходят от латинских слов census («имущество» – этим словом было переведено арабское «мал») или quadratus (квадрат), обозначения ее куба – от cubus (куб). Используются и обозначения свободного члена, происходящие от лат. numerus (число). Обозначения старших степеней неизвестной строятся, как в Индии, по мультипликативному принципу на основе обозначений квадрата и куба, если они только могут быть так построены (например, четвертая степень из двух обозначений квадрата, шестая – из обозначений квадрата и куба, восьмая – из трех обозначений квадрата и т. д.). Те же степени, которые не могут быть так построены – пятая, седьмая и т. д. – уже у византийского математика Михаила Пселла (XI в.) именуются, соответственно, «первым невыразимым», «вторым невыразимым» и т. д. (Используемое им греч. слово «алогос», невыразимый, означало также «иррациональный»). Европейские математики XV–XVI вв. идут по тому же пути, причем термин «алогос» передают, например, итальянским словом relato – «находящийся в отношении»; возможно, результат ошибки переписчика, вместо «алогос» написавшего «ологос» – отношение. Тогда пятая степень будет называться primo relato (первое relato), седьмая – secondo relato (второе relato) и т. д.: такая терминология и соответствующие буквенные обозначения используются, например, у Луки Пачоли, сходные – у Тартальи и Кардано. Немецкие математики школы «коссистов» (Coss, от итальянского cosa – «вещь», т. е. «неизвестное») называли пятую степень Sursolidum или surdesolidum – сокращения от лат. surdum solidum, дословно «глухое твердое тело». Surdum – перевод арабского «асамм» (немой, глухой), которым арабы передавали греческое «алогос»; слово же solidum указывало, что высшие степени рассматривались как обобщения кубов – пространственных, «твердых» тел (ср. название части геометрии, изучающей тела в трехмерном пространстве – стереометрия – по-гречески буквально «измерение твердых тел»). Для наименования последующих «невыразимых» степеней к словам Sursolidum или surdesolidum добавляли префиксы, означающие «два», «три» и т. д., например, bissurdesolidum («дважды глухое твердое тело») для седьмой степени. У француза Петра Рамуса – гугенота, погибшего в Варфоломеевскую ночь 1572 г., – пятая степень называется просто solidus, «твердое тело», а седьмая – bisolidus. Терминология и обозначения коссистов и Рамуса употребляются в т. ч. в «Арифметике» Магницкого.

Совсем другой и исторически более прогрессивный способ обозначения степеней, не использующий ни «квадратов», ни «кубов», ни «невыразимых», предложил Р. Бомбелли. Этот принцип состоит в надписывании числового показателя степени над коэффициентом, стоящим при неизвестной. Например, выражение (3x2 + 4x) могло бы быть записано так:

2 1
3 р 4

Точки в данном случае просто разделяют символы – в этом качестве они нередко использовались математиками того времени.

С. Стевин, в отличие от Бомбелли, писал показатели степени в кружочках и ставил их не сверху, а справа от соответствующих коэффициентов (ср. с его же обозначениями разрядов десятичных дробей). Главное же нововведение Стевина в алгебраическую символику заключалось в изобретении знаков для нескольких неизвестных, что было очень затруднительно для предыдущих математиков, у которых «квадраты», «кубы» и т. д. обозначали квадраты и кубы именно единственной неизвестной величины (впрочем, Лука Пачоли имел обозначения для второй неизвестной и ее степеней; первая у него называлась cosa – «вещь», вторая – quantità – «количество»). Стевин обозначал вторую неизвестную sec. (лат. secunda – вторая), третью – ter. (tertia – третья). Вот как, например, он записывал выражение 5x2y/z3:

Рис. 3. Обозначения дробей у Стевина

Здесь D и M – сокращения лат. слов dividere (делить) и multiplicare (умножать).

Ф. Виет стал использовать для величин буквы алфавита – причем не только для неизвестных, но и для произвольных параметров в уравнении, что было, конечно, удобно для алгебраических исследований. Искомые величины обозначались гласными, данные – согласными. Вслед древним грекам Виет употреблял заглавные буквы. Он использовал знаки «+» и «–», а также дробную черту; умножение обозначал словом in («на»); равенство и степени записывались словами. Черта над многочленом играла роль скобок, впрочем, иногда Виет пользовался и фигурными скобками.

Англичанин Томас Гарриот употреблял для переменных строчные буквы и записывал степени путем повторения их основания; он, кроме того, пользовался знаком равенства, поэтому его обозначения довольно-таки похожи на современные, например, уравнение x3 – 3bx2 + 3b2x = 2b3 Гарриот записывает так:
aaa – 3.baa + 3.bba = + 2.bbb.

Здесь точка служит не для обозначения умножения, а для отделения числового коэффициента. (Точку как знак умножения предложил использовать Лейбниц в конце XVII в.). Гарриот же впервые ввел знаки > и <.

В отличие от Виета, Декарт обозначал данные величины начальными буквами алфавита abc, ..., а неизвестные или переменные – последними буквами: xyz. Он же упростил обозначения степеней и они приняли современный вид: a2a3, ... Поэтому его записи уже мало чем отличаются от современных.

Первоначальное обозначение корня – буквой R или r (от слова radix) – в конечном итоге превратилось в привычное нам (первый раз – у немца Кристофа Рудольфа в 1525 г.). Черту над подкоренным выражением ввел Декарт (по сути, это была та же черта Виета, игравшая роль скобок). Обозначения корней высших степеней долгое время сочетали знак с цифровым или буквенным обозначением степени, которое ставилось после ; тот же Декарт еще писал для кубического корня (C – от cubus «куб»). Впервые обозначать степень корня, как мы сейчас, то есть с помощью маленькой цифры левее и чуть выше знака радикала, придумал нидерландский математик Альбер Жирар в 1629 г., но в общее употребление это обозначение вошло только в XVIII в.

Арифметическим действиям во всех странах придавалось магическое значение, примером могут служить магические квадраты. На рисунке приведены магический квадрат с известной гравюры Дюрера «Меланхолия» и китайский магический квадрат, увиденный, по преданию, на спине черепахи и принесший стране счастье и довольство после длинной череды неудач.

Рис. 4. Магические квадраты