Найдите
общий коэффициент жёсткости системы пружин, изображённой на рисунке,
если внешняя сила прикладывается к верхней платформе в вертикальном
направлении. Лестница, на которую опираются пружины, бесконечна. Все
платформы при сжатии пружин сохраняют горизонтальное положение и не
касаются ступенек лестницы. Каждая из платформ, кроме самой верхней,
опирается на две пружины. Коэффициенты жёсткости всех пружин
одинаковы и равны
, оси всех пружин вертикальны. Массой пружин и
платформ можно пренебречь.
Скрыть решение
Решение
Обозначим смещение верхней платформы под действием приложенной к ней
силы
через
, а следующих, расположенных ниже платформ,
под действием приложенных к ним сил
,
,
, ...
, через
,
,
, ...
соответственно (см. рис.). Тогда из условия равновесия верхней
платформы (сумма действующих на неё сил равна нулю) следует, что
общий коэффициент жёсткости равен:
Из условий равновесия расположенных ниже платформ следует, что
Складывая эти уравнения и сокращая на

, получаем:
Ясно, что общий коэффициент жёсткости правой или левой части данной
бесконечной системы пружин не должен зависеть от номера ступени. Поэтому
или
Отсюда
поскольку деформации нижних пружин меньше, чем верхних.
Таким образом,
Подставляя полученные выражения для
,
,
,
в формулу (1), получаем:
Отсюда, применяя формулу для суммы членов геометрической прогрессии, имеем:
или

.
Решая это квадратное уравнение, находим:
.
Поскольку
, то
.
С учётом этого, окончательно получаем:
Ответ