Задача по физике N201

Найдите общий коэффициент жёсткости системы пружин, изображённой на рисунке, если внешняя сила прикладывается к верхней платформе в вертикальном направлении. Лестница, на которую опираются пружины, бесконечна. Все платформы при сжатии пружин сохраняют горизонтальное положение и не касаются ступенек лестницы. Каждая из платформ, кроме самой верхней, опирается на две пружины. Коэффициенты жёсткости всех пружин одинаковы и равны

, оси всех пружин вертикальны. Массой пружин и платформ можно пренебречь.

Скрыть решение

Решение

Обозначим смещение верхней платформы под действием приложенной к ней силы через , а следующих, расположенных ниже платформ, под действием приложенных к ним сил , , , ... , — через , , , ... соответственно (см. рис.). Тогда из условия равновесия верхней платформы (сумма действующих на неё сил равна нулю) следует, что общий коэффициент жёсткости равен:

$\begin{displaymath} k_{\Sigma} = \mathchoice{\displaystyle\frac{F}{\Delta x}}{\... ...tyle\frac{k\Delta x + 2k(\Delta x - \Delta x_1)}{\Delta x}} = \end{displaymath}$

$\begin{displaymath}=3k-2k\mathchoice{\displaystyle\frac{\Delta x_1}{\Delta x}}{\... ...{\Delta x}}{\displaystyle\frac{\Delta x_1}{\Delta x}}\right). \end{displaymath}$

$\includegraphics{0201/196-2005}$

Из условий равновесия расположенных ниже платформ следует, что

$\begin{displaymath} \begin{array}{l} F_1 = k(\Delta x - \Delta x_1) = k\Delta ... ...3 - \Delta x_4),\\ \ldots \ldots \ldots \ldots \end{array} \end{displaymath}$

Складывая эти уравнения и сокращая на

, получаем:

$\begin{displaymath} \Delta x = 2\Delta x_1 + \Delta x_2 + \Delta x_3 + \Delta x_4 + \ldots \quad \eqno(1) \end{displaymath}$

Ясно, что общий коэффициент жёсткости правой или левой части данной бесконечной системы пружин не должен зависеть от номера ступени. Поэтому

$\begin{displaymath} \mathchoice{\displaystyle\frac{F_1}{\Delta x_1}}{\displayst... ...}{\Delta x_3}}{\displaystyle\frac{F_3}{\Delta x_3}} = \ldots, \end{displaymath}$

или

$\begin{displaymath} \mathchoice{\displaystyle\frac{k(\Delta x-\Delta x_1)}{\Del... ...laystyle\frac{k(\Delta x_2-\Delta x_3)}{\Delta x_3}} = \ldots \end{displaymath}$

Отсюда

$\begin{displaymath} \mathchoice{\displaystyle\frac{\Delta x}{\Delta x_1}}{\disp... ...laystyle\frac{\Delta x_2}{\Delta x_3}} = \ldots \equiv n > 1, \end{displaymath}$

поскольку деформации нижних пружин меньше, чем верхних. Таким образом,

$\begin{displaymath} \Delta x_1 = \mathchoice{\displaystyle\frac{\Delta x}{n}}{\... ... x}}{n^3}}{\displaystyle\frac{{\Delta x}}{n^3}}; \quad \ldots \end{displaymath}$

Подставляя полученные выражения для , , , в формулу (1), получаем:

$\begin{displaymath} \Delta x = 2\mathchoice{\displaystyle\frac{\Delta x}{n}}{\d... ...c{\Delta x}{n^4}}{\displaystyle\frac{\Delta x}{n^4}} + \ldots \end{displaymath}$

Отсюда, применяя формулу для суммы членов геометрической прогрессии, имеем:

$\begin{displaymath} n = 1+\left(1+\mathchoice{\displaystyle\frac{1}{n}}{\displa... ...displaystyle\frac{2n-1}{n-1}}{\displaystyle\frac{2n-1}{n-1}}, \end{displaymath}$

или

Решая это квадратное уравнение, находим: . Поскольку , то . С учётом этого, окончательно получаем:

$\begin{displaymath} k_{\Sigma} =k\left(3 - 2\mathchoice{\displaystyle\frac{\De... ...}}}{\displaystyle\frac{5+3\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}} =k\sqrt{5}. \end{displaymath}$

Ответ

$\begin{displaymath} k_{\Sigma} = k\sqrt{5}. \end{displaymath}$