«Начала» Евклида. Построения циркулем и линейкой

Задачи на построение при помощи циркуля и линейки (без делений) занимали важное место в древнегреческой математике. Хотя линейкой пользовались еще в Древнем Египте, циркуль, по свидетельству римского поэта Овидия, изобрели именно греки. Евклид начал список геометрических постулатов описанием простейших построений линейкой и циркулем: а именно, если заданы две точки, то можно провести через них прямую и продлить ее сколь угодно далеко; кроме того, можно провести окружность с заданным центром и заданным радиусом.

В «Началах» Евклида нет привычного нам слова «теорема». За определениями, аксиомами и постулатами следуют предложения: одни из этих предложений выражают теоретические истины, которые затем доказываются, а другие формулируют задачи на построение, которые затем решаются. На деле различие между первыми и вторыми не так велико. Дело в том, что Евклид считает существующими только те фигуры, которые могут быть построены: построение как бы вызывает их к жизни. Поэтому решение задачи на построение некой фигуры на самом деле является доказательством теоретического утверждения о ее существовании. В силу этого Евклид не может говорить о фигурах, которые невозможно построить циркулем и линейкой. Например, он не может утверждать существование квадрата, равновеликого данному кругу (квадратура круга), но может говорить о том, что площади кругов пропорциональны квадратам их диаметров.

В школе по сей день решаются задачи на построение циркулем и линейкой: деление отрезка пополам, проведение перпендикуляра к данной прямой через данную точку и т. д. Следует, однако, отметить некоторое отличие между использованием циркуля ныне и в античности.

Самое первое предложение «Начал» звучит так: «На данной ограниченной прямой (мы бы сказали – на данном отрезке) построить равносторонний треугольник». Это построение, действительно, и по сей день представляется одним из самых простых.

Модель 1. Построение равностороннего треугольника

А вот следующее способно ввести в недоумение: «От данной точки отложить прямую, равную данной прямой». Современный школьник и не догадывается, что для этого нужно решать какую-то специальную задачу. Это сейчас одна из элементарных операций: установить раствор циркуля между двумя заданными точками и перенести ножку циркуля в нужную точку.

Но дело в том, что Евклид рассматривает использование циркуля иначе, чем современный школьник. По Евклиду, использовать циркуль можно только для проведения окружности с данным центром и радиусом, уже отложенным от данной точки, то есть, фактически, для проведения окружности с данным центром через данную точку (постулат 3). А вот переносить циркулем отрезки нельзя. Дело в том, что у древних греков циркуль пришел на смену веревке, один конец которой привязывался к колышку, а другим, натягивая, можно было прочертить окружность с центром в этом колышке и радиусом, равным всей веревке или какой-то ее части.

Рис. 1. Древнегреческий циркуль

Оказывается, впрочем, что указанное ограничение на использование циркуля не является принципиальным. Существует способ откладывания отрезка данной длины от данной точки, даже если нельзя переносить отрезки циркулем. Именно это и утверждает второе предложение «Начал» Евклида.

Итак, пусть надо отложить от точки A отрезок, равный BC. Проведем отрезок AB и построим на нем равносторонний треугольник ABD (см. предложение 1). Построим окружность G с центром в B и радиусом BC. Продлим прямую DB до пересечения с окружностью G в точке H. Ясно, что BH = BC (т. к. H и C лежат на одной и той же окружности с центром B). Теперь построим окружность K с центром D и радиусом DH. Продлим прямую DA до пересечения с окружностью K в точке L. Ясно, что DL = DH (т. к. L и H лежат на одной и той же окружности с центром D). Поэтому AL = DL – AD = DH – BD = BH = BC, и отрезок AL – искомый.

Модель 2. Перенос циркуля с заданным раствором в другую точку плоскости

Итак, даже применяя циркуль так, как указано Евклидом, мы все-таки можем переносить отрезки, а значит, спокойно можем пользоваться циркулем так, как мы привыкли.

Развитие греческой математики вскоре заставило обратить внимание на то, что не все задачи на построение могут быть решены с помощью циркуля и линейки без делений: тремя классическими задачами на эту тему считаются упомянутая выше квадратура круга, удвоение куба и трисекция угла. Исследование этих задач вызвало к жизни изобретение новых методов геометрических построений.