Задача по физике N187

В системе, изображённой на рисунке, блоки и нити невесомы. Массы грузов, подвешенных к крайним блокам, одинаковы и равны

, а наклонные участки нити составляют с вертикалью угол

. При каких значениях массы

груза, подвешенного к центральному блоку, и коэффициента трения

между крайними блоками и опорами система будет находиться в равновесии? Будет ли это равновесие устойчивым?

Скрыть решение

Решение

$\includegraphics{0187/183}$

Сила натяжения нити, соединяющей блоки, одинакова по всей её длине и равна, очевидно, . Рассмотрим условия равновесия какого-либо из боковых блоков (см. рис.). Вычисляя моменты сил, действующих на этот блок, относительно его центра, получаем, что , а из условий равновесия блока в горизонтальном и в вертикальном направлениях имеем:

$\begin{displaymath} N=T\sin\alpha, \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} F_{\rm тр}+T\cos\alpha = T(1+\cos\alpha)=\mathchoice{\displ... ...displaystyle\frac{m\textsl{g}}{2}}(1+\cos\alpha)=M\textsl{g}. \end{displaymath}$

Отсюда

$\begin{displaymath} m=\mathchoice{\displaystyle\frac{2M}{1+\cos\alpha}}{\displa... ...e\frac{2M}{1+\cos\alpha}}{\displaystyle\frac{2M}{1+\cos\alpha}}\end{displaymath}$

$\begin{displaymath} N =\nobreak\discretionary{}{\hbox{$=$}}{}F_{\rm тр}\sin\alpha \leqslant \mu N \sin\alpha, \end{displaymath}$

то есть

Покажем, что это равновесие устойчиво. Предположим, что нижний груз поднялся выше положения равновесия, тогда боковые блоки опустятся вниз, и угол уменьшится. Поэтому уменьшится и равновесное значение массы , из чего следует, что при случайном поднятии груза он будет возвращаться в прежнее положение. Опускание груза рассматривается аналогично. Следовательно, равновесие действительно будет устойчивым.

Ответ

; равновесие устойчиво.