Путь к отождествлению отношений с числами

Мы убедились, что аналогом действительных чисел для древнегреческих математиков времен Евклида были отношения отрезков, площадей и т. д.; рациональные числа соответствовали соизмеримым отношениям, иррациональные – несоизмеримым. Существовали и определенные правила оперирования с отношениями, напоминающие операции с дробями. Правда, Евклид только «перемножал» отношения, то есть образовывать составное отношение, но речь не шла о сложении или вычитании отношений.

Античный математик, живший в более позднюю эпоху – Птолемей – в «Альмагесте» называет отношения числами и распространяет на них обычные арифметические операции: фактически у Птолемея число – это шестидесятеричная дробь, выражающая отношение величин (хорд окружностей или отрезков касательных к ее диаметру), безотносительно к тому, является ли данное отношение соизмеримым или несоизмеримым.

Наконец, еще один подход зафиксирован в позднюю античность у Диофанта в «Арифметике». Во введении Диофант по традиции определяет число как совокупность единиц, однако затем, при решении конкретных задач, он называет числом каждое рациональное решение рассматриваемых им уравнений; если уравнение не имеет рациональных решений, Диофант считает его вовсе не имеющим решений. Диофант рассматривает неопределенные уравнения, а также неопределенные системы уравнений, то есть задачи с большим числом неизвестных, нежели имеется уравнений; такие задачи, как правило, имеют много решений. Рассматриваются только рациональные решения, связанные с делимостью. П. Ферма, совершивший в XVII в. настоящее переоткрытие этой темы, перешел от рациональных к целочисленным неопределенным уравнениям. Тем не менее, эти уравнения в настоящее время носят название диофантовых уравнений.

Многие арабские математики Средневековья используют одно и то же слово «число» (адад) для рациональных чисел (ал-адад ал мунтика) и для иррациональных (ал-адад ал сумма). Они стремились распространить арифметические операции, включая извлечение корней, на все числа. Этому способствовало и использование приближенных записей иррациональных чисел вначале шестидесятеричными, а затем десятичными дробями. Омар Хайям развил концепцию, согласно которой всякое отношение должно изображаться посредством некоторого числа. Для этого он вводит отвлеченной делимой единицы – рассматривает некую величину (отрезок, объем и т. д.) как единицу – и трактует отношение всякой другой величины того же рода к данной величине как число, хоть и не «настоящее» (т. е. не являющееся совокупностью единиц): «Выберем единицу и пусть ее отношение к величине C будет как A к B. Будем смотреть на величину C не как на линию, поверхность, тело или время, но будем смотреть на нее как на величину, отвлеченную разумом от всего этого и принадлежащую к числам, но не к числам абсолютным и настоящим, так как отношение A к B часто может не быть числовым». Насир ад-Дин ат-Туси воспринял и развил эту концепцию; в Европе она получила известность после издания в Риме труда ат-Туси «Изложение Евклида» (1594 г.), а затем выхода его латинского перевода (1657 г.).

На христианском средневековом Западе, где практика арифметических вычислений была намного менее развитой, чем у арабов, концепция числа оставалась более узкой. Даже итальянские и немецкие математики XVI в., хорошо владевшие арифметическими операциями с иррациональностями в виде корней, тем не менее, исключали их из области настоящих чисел. Однако С. Стевин, введший в Европе десятичные дроби, активно выступал за уравнивание иррациональных чисел в правах с рациональными. Он определял число как «то, с помощью чего выражается количество всякой вещи» и утверждал, «что число является непрерывным количеством и что, в частности, единица делима». Стевин заявлял: «Нет никаких абсурдных, иррациональных, неправильных, невыразимых или глухих чисел».

Весьма долго в математике держалось понимание двух перемножаемых величин как отрезков, их произведения – как площади, а произведения трех сомножителей – как объема (что нашло отражение, в частности, в наименовании второй степени «квадратом», а третьей – «кубом»). Система алгебраических обозначений Ф. Виета, представлявшая собой некоторый шаг вперед, тем не менее, сохраняла эту архаическую черту: в уравнениях при различных степенях неизвестного Виет писал слова planum (плоское) и solidum (твердое, т. е. телесное, пространственное, трехмерное) для того, чтобы все слагаемые в уравнении имели одну и ту же размерность, то есть все были бы, скажем, объемами, а не площадями. Например, уравнение x3 + 3Bx2 = 2z выглядит у Виета так: A cubus + B plano 3 in aequari Z solido 2.

Здесь неизвестная обозначается гласной буквой A, слово in («в», «на») означает «умножить», «B plano 3 in» (дословно «плоским на B трижды») – 3Bx2, aequari – «равно», «Z solido 2» – «пространственому Z дважды», т. е. 2z. Смысл заключается в том, что x3 и z мыслятся объемами, а x2 – площадью, которая умножается на длину B, чтобы тоже получился объем: складывать можно лишь величины одной размерности – объемы, площади или длины; нельзя, например, складывать объемы с площадями.

Интересно, что уже древние вавилоняне, хоть и называли (как впоследствии арабы) неизвестное x «стороной», а x2 – «квадратом», без колебаний вычитали длину из площади. Условие задачи могло выглядеть так: «Я вычитаю сторону квадрата из его площади и получаю 14,30» (на язык современных алгебраических обозначений это можно перевести уравнением x2 – x = 14,30).

Уравнивание величин и их отношений с числами было отчетливо произведено Р. Декартом. Он хотел объединить геометрию и алгебру и для этого отождествил отрезки с числами. Некий произвольно выбранный отрезок принимается за единицу, а действия сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения корня представляются с помощью геометрических операций, результатом которых снова являются отрезки, однородные с исходными отрезками. В частности, произведением двух данных отрезков a и b является отрезок, который так же относится к a, как b к единице:

ab : a = b : 1.

Частным a и b является такой отрезок, который относится к a, как единица к b:

a/b : a = 1 : b.

Квадратным корнем из a является отрезок, равный «среднему геометрическому» a и единицы:

Рис. 1. Размещение корней, частных и произведений на числовой прямой

Таким образом, если выбрана единица длины, то все величины, независимо от их размерности (длины, площади, объемы и т. д.), могут быть представлены как отрезки, а отрезки – числами, с которыми производятся однозначно определенные арифметические операции. Декарт применял слово «число» также к иррациональным отрезкам, т. е. к отрезкам, несоизмеримым с единицей: в этом случае он говорил о «глухих числах».

Представление о числе как отношении отчетливо звучит у И. Ньютона, который в лекциях по алгебре, читавшихся им в Кембриджском университете, говорит: «Под числом мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвлеченное отношение какой-либо величины к другой величине того же рода, принятой за единицу. Число бывает трех видов: целое, дробное и иррациональное (лат. surdus – дословно «глухое»). Целое число есть то, что измеряется единицей; дробное – кратной долей единицы; иррациональное число не соизмеримо с единицей».

С тех пор дроби и иррациональности прочно заняли свое место среди чисел. Пока, однако, мы вели речь только о положительных числах. Необходимость рассмотрения отрицательных чисел (не говоря уж о комплексных) осознавалась также постепенно, но это был процесс, почти независимый от отождествления отношений с числами.