Задача по физике N181

Очень лёгкая жёсткая квадратная пластинка подвешена в горизонтальном положении на четырёх одинаковых вертикальных нитях, прикреплённых к её углам. Найдите и нарисуйте ту область пластинки, куда можно положить точечный груз таким образом, чтобы все четыре нити в положении равновесия оказались натянутыми. Нити считать упругими, но очень слабо растяжимыми.

Скрыть решение

Решение

$\includegraphics{0181/157-1}$

Введём прямоугольную систему координат с началом в одном из углов пластинки и направим координатные оси и вдоль её сторон. Нарисуем вид пластинки сверху (см. рис..1) и обозначим через , , и силы натяжения нитей, — длину стороны пластинки, — массу груза.

Пусть груз находится в точке с координатами . Запишем условия равновесия пластинки. Первое уравнение представляет собой условие равенства нулю суммы всех сил, действующих на пластинку:

$\begin{displaymath} N_1 + N_2 + N_3 + N_4 = m\textsl{g}. \eqno(1) \end{displaymath}$

Далее, сумма моментов всех сил относительно осей, параллельных осям координат и проходящих через точку, в которой находится груз, также должна быть равна нулю. Отсюда имеем ещё два уравнения:

$\begin{displaymath} (N_1+N_4)y=(N_2+N_3)(L-y), \eqno(2) \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} (N_1+N_2)x=(N_3+N_4)(L-x). \eqno(3) \end{displaymath}$

Полученная система уравнений неполна. Для того, чтобы получить ещё одно уравнение, нужно найти, как связаны друг с другом величины малых деформаций нитей, возникших после того, как на пластинку положили тело. Пусть первая нить деформировалась на величину , а три остальные — на величины , и соответственно. Тогда центр пластинки сместился на некоторую величину , которая равна

$\begin{displaymath} h = \mathchoice{\displaystyle\frac{1}{2}}{\displaystyle\fra... ...displaystyle\frac{1}{2}}\left(\Delta l_2 + \Delta l_4\right). \end{displaymath}$

Поскольку

и все нити одинаковы, то из последнего соотношения получаем недостающее уравнение:

$\begin{displaymath} N_1 + N_3 = N_2 + N_4. \eqno(4) \end{displaymath}$

Решим полученную систему. Из уравнений (1) и (4) следует, что

$\begin{displaymath} N_1+N_3 = N_2+N_4 = \mathchoice{\displaystyle\frac{m\textsl... ...\textsl{g}}{2}}{\displaystyle\frac{m\textsl{g}}{2}}. \eqno(5) \end{displaymath}$

Преобразовывая уравнения (2) и (3) с учётом (1), получаем:

$\begin{displaymath} \begin{array}{c} (N_1 + N_2 + N_3 +N_4)y = m\textsl{g}y = ... ... N_2 + N_3 +N_4)x = m\textsl{g}x = (N_3 + N_4)L. \end{array} \end{displaymath}$

Складывая их, с учётом (5) имеем

$\begin{displaymath} m\textsl{g}(x + y) = (N_2 + 2N_3 + N_4)L = \left(\mathchoic... ...l{g}}{2}}{\displaystyle\frac{m\textsl{g}}{2}} + 2N_3\right)L, \end{displaymath}$

откуда

$\begin{displaymath} N_3 = \mathchoice{\displaystyle\frac{m\textsl{g}}{2}}{\disp... ...}{\displaystyle\frac{1}{2}}{\displaystyle\frac{1}{2}}\right). \end{displaymath}$

Так как по условию все нити натянуты, то , то есть . Область пластинки, удовлетворяющая этому условию, изображена на рисунке.2. Таким образом, для того, чтобы третья нить была натянута, груз должен лежать в заштрихованной части пластинки. Поскольку все нити одинаковы и пластинка квадратная, то из соображений симметрии следует, что область, в которую можно положить точечный груз для того, чтобы все нити были натянуты, представляет собой квадрат с вершинами, находящимися в серединах сторон пластинки (заштрихован на рисунке.3).

$\includegraphics{0181/157-2}$

Рис..2. Рис..3.

Ответ

Область, в которую можно положить точечный груз для того, чтобы все нити были натянуты, представляет собой квадрат с вершинами, находящимися в серединах сторон пластинки.