Задача по физике N180

Три отрезка троса соединены в точке

(см. рисунок). Все они лежат в одной плоскости, прямые и не натянуты. Угол между крайними и средним отрезками троса равен

. К точке

подвешивают груз массой

. Найдите силу натяжения

среднего отрезка троса. Удлинение тросов мало.

Скрыть решение

Решение

$\includegraphics{0180/176}$

Пусть и — силы натяжения среднего и каждого из крайних отрезков троса соответственно, и — удлинения среднего и крайних отрезков, и — модуль Юнга и площадь поперечного сечения троса, — расстояние между точками подвеса его крайних и среднего отрезков (см. рис.).

Найдём связь между удлинениями отрезков троса, воспользовавшись теоремой косинусов:

$\begin{displaymath} \left(\mathchoice{\displaystyle\frac{L}{\sin \alpha}}{\disp... ...L}{\sin\alpha}}{\displaystyle\frac{L}{\sin\alpha}}\cos\alpha. \end{displaymath}$

Отсюда, пренебрегая квадратами малых удлинений по сравнению с их первыми степенями, получаем:

Таким образом, в соответствии с законом Гука,

$\begin{displaymath} T= ES\cdot\mathchoice{\displaystyle\frac{\Delta x}{L/\tg\al... ...ha}}{\displaystyle\frac{ES\Delta x \sin\alpha}{L\cos\alpha}}, \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} T_1= ES\cdot\mathchoice{\displaystyle\frac{\Delta x_1}{L/\s... ...L}}{\displaystyle\frac{ES\Delta x \cos\alpha \sin\alpha}{L}}, \end{displaymath}$

откуда

Поскольку груз покоится, то сумма всех действующих на него сил равна нулю. Запишем это условие в проекции на вертикальную ось:

$\begin{displaymath} T + 2 T_1 \cos\alpha = m\textsl{g}. \end{displaymath}$

Подставляя сюда выражение для

, получаем ответ:

$\begin{displaymath} T=\mathchoice{\displaystyle\frac{m\textsl{g}}{1+2\cos^3\alp... ...^3\alpha}}{\displaystyle\frac{m\textsl{g}}{1+2\cos^3\alpha}}. \end{displaymath}$

Ответ

$\begin{displaymath} T=\mathchoice{\displaystyle\frac{m\textsl{g}}{1+2\cos^3\alp... ...^3\alpha}}{\displaystyle\frac{m\textsl{g}}{1+2\cos^3\alpha}}. \end{displaymath}$