Задача по физике N170

Груз неизвестной массы взвешивают, уравновешивая его гирькой с известной массой

на концах тяжёлого прямого коромысла; при этом равновесие достигается, когда точка опоры коромысла смещается от его середины на

его длины в сторону гирьки. В отсутствие же груза на втором плече коромысло остаётся в равновесии при смещении его точки опоры от середины в сторону гирьки на

его длины. Считая коромысло однородным по длине, найдите массу взвешиваемого груза

Скрыть решение

Решение

Для решения задачи воспользуемся правилом рычага. При взвешивании груза неизвестной массы на плечи коромысла длины действуют силы , и , где — масса коромысла (см. рис.). Плечи этих сил относительно оси, проходящей через точку опоры перпендикулярно плоскости рисунка, равны , и соответственно.

Условие равновесия рычага имеет вид:

$\begin{displaymath} m\textsl{g}(0{,}5+x)L + m_{\rm к}\textsl{g}xL = M\textsl{g}(0{,}5-x)L, \end{displaymath}$

откуда

$\begin{displaymath} m=\mathchoice{\displaystyle\frac{M(0{,}5-x)-m_{\rm к}x}{0{,... ...{,}5+x}}{\displaystyle\frac{M(0{,}5-x)-m_{\rm к}x}{0{,}5+x}}. \end{displaymath}$

$\includegraphics{0170/148-1}$

Рассмотрим теперь второе взвешивание (без груза неизвестной массы), которое позволит нам найти массу коромысла. Плечи сил и будут теперь равны и соответственно. Тогда условие равновесия рычага даёт:

$\begin{displaymath} m_{\rm к}\textsl{g}yL = M\textsl{g}(0{,}5 - y)L, \end{displaymath}$

откуда

$\begin{displaymath} m_{\rm к} = \mathchoice{\displaystyle\frac{M(0{,}5-y)}{y}}{... ...tyle\frac{M(0{,}5-y)}{y}}{\displaystyle\frac{M(0{,}5-y)}{y}}. \end{displaymath}$

Следовательно,

$\begin{displaymath} m = \mathchoice{\displaystyle\frac{M(0{,}5-x)-\mathchoice{\... ...ystyle\frac{y-x}{y(1+2x)}}{\displaystyle\frac{y-x}{y(1+2x)}}= \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} = M\mathchoice{\displaystyle\frac{(1/3)-(1/4)}{(1/3)\left(1... ...ne{6}}}}{\displaystyle\frac{M}{6}}{\displaystyle\frac{M}{6}}. \end{displaymath}$

Ответ

$\begin{displaymath} m = M\mathchoice{\displaystyle\frac{y-x}{y(1+2x)}}{\display... ...ne{6}}}}{\displaystyle\frac{M}{6}}{\displaystyle\frac{M}{6}}. \end{displaymath}$