Задача по физике N156

На рисунке 1 приведена зависимость силы упругости

, возникающей при растяжении резинового стержня, от величины

его удлинения. Стержень очень медленно протягивают через щель, имеющую достаточно узкие закруглённые края-щёчки, так, как показано на рисунке 2. Каждая из щёчек прижимается к стержню с постоянной силой

Н. Коэффициент сухого трения между резиной и материалом щёчек

, длина стержня в нерастянутом состоянии

см. Какую работу совершат силы трения, действующие на стержень, к тому моменту, когда он весь будет протянут через щель?

Скрыть решение

Решение

Так как стержень протягивают через щель очень медленно, то сумма всех приложенных к нему сил всё время равна нулю. Значит, внешняя сила, прикладываемая к переднему концу стержня, всегда равна силе трения щёчек о стержень и постоянна по величине:

$\begin{displaymath} F_{\rm вн} = F_{\rm тр} = 2\mu F = 2 \cdot 0{,}5 \cdot 30 \mbox{Н}= 30 \mbox{Н}. \end{displaymath}$

Передний конец стержня, к которому приложена внешняя сила, перемещается на расстояние . Здесь — изменение длины стержня к тому моменту, когда он протянут через щёчки практически целиком; оно соответствует приложенной к стержню растягивающей силе и определяется из графика зависимости силы упругости от удлинения.

Работа постоянной внешней силы над системой «стержень щёчки» равна

$\begin{displaymath} A_{\rm вн} = F_{\rm вн} (L + \Delta l) = 30 \mbox{Н}\cdot 0{,}4 \mbox{м}= 12 \mbox{Дж}. \end{displaymath}$

Эта работа расходуется, во-первых, на увеличение потенциальной энергии стержня

при его растяжении, и, во-вторых, на работу против сил трения, которая увеличивает внутреннюю энергию системы, то есть превращается в тепло

. Таким образом,

$\begin{displaymath} A_{\rm вн} = \Delta U + Q = \Delta U - A_{\rm тр}, \end{displaymath}$

где работа сил трения

Изменение потенциальной энергии стержня, то есть величина энергии упругой деформации к концу всего процесса, может быть определено из приведённого в условии графика. Оно равно площади области под кривой, ограниченной зависимостью , осью абсцисс и вертикальной прямой, соответствующей см. Подсчёт с использованием сетки на графике показывает, что . Таким образом, получаем, что

$\begin{displaymath} A_{\rm тр} = \Delta U - A_{\rm вн} \approx 3 \mbox{Дж}- 12 \mbox{Дж}= - 9 \mbox{Дж}. \end{displaymath}$

Как видно, эту величину нельзя было бы найти просто как произведение постоянной силы трения на «длину пути», то есть, в данном случае, длину прошедшего через щёчки растянувшегося стержня — эта «длина пути» не соответствует ни начальной, ни конечной длине стержня. Такая ошибка в использовании определения работы возникла из-за того, что контакт щёчек, даже сколь угодно узких, со стержнем, в данной задаче нельзя рассматривать как точечный — на протяжении этого контакта происходят существенные изменения характера движения точек стержня.

Ответ

$\begin{displaymath} A_{\rm тр} \approx - 9 \mbox{Дж}. \end{displaymath}$

	$\includegraphics{0156/145-1}$	$\includegraphics{0156/145-2}$
	рисунок 1	рисунок 2