Позиционные нумерации

Позиционные нумерации были изобретены в разных уголках земного шара: в Междуречье, Центральной Америке, Китае и Индии.

Самая первая из этих систем была в ходу в древнем Междуречье; ею располагали уже шумеры в 3 тысячелетии до н. э., но в историю она вошла как древневавилонская система счисления. Она отражена на многих клинописных глиняных табличках, оставшихся от древневавилонской цивилизации. В отличие от нашей системы, основывающейся на числе 10, древневавилонская имеет основанием 60, то есть числа 1, 60, 3600 и т. д., а также, между прочим, 1/60, 1/3600 и т. д. записывались одним и тем же символом – вертикальным клином, направленным вниз (V). Вначале вместо знака «нуль» употребляли просто пробел. Помимо единицы, использовался еще один знак – 10 (он же 600, 36 000 и т. д.) – горизонтальный клин, направленный влево (<). В записи чисел использовался аддитивный принцип: например, число 25 = 2 ∙ 10 + 5 обозначалось как <<VVVVV, число 72 = 60 + 10 + 2 – как V<VV, а число 2934 = 4 ∙ 600 + 8 ∙ 60 + 5 ∙ 10 + 4 – как <<<<VVVVVVVV<<<<<VVVV.

Рис. 1. Запись чисел в Древнем Вавилоне

В позиционной системе умножение единиц любого разряда выполняется одинаково, для умножения же различных чисел от 1 до 60 использовались готовые таблицы умножения. Деление осуществлялось не как отдельная операция, а как умножение на обратную величину – существовали таблицы и этих величин.

В поздних вавилонских текстах стал появляться похожий на наклонную стрелку значок , эквивалентный нулю и отмечающий пустой разряд посреди числа. Без него было бы затруднительно отличать такие числа, как, например, 4200 = 3600 + 600 и 3610 = 3600 + 10. Этот значок повторялся в зависимости от того, сколько разрядов пропущено. Характерно, однако, что в конце числа этот значок никогда не ставили: таким образом, по одной лишь записи нельзя было отличить какое-либо число от других чисел, отличающихся от него в 60n раз.

Вавилонская шестидесятеричная система счисления оставила важный след в истории. Именно от вавилонян пошло деление окружности на 360 частей, которые мы сейчас называем градусами, а градусов (как и часов) – на 60 минут, которые, в свою очередь, делятся на 60 секунд. Греческие астрономы поздней античности (например, Клавдий Птолемей) пользовались именно шестидесятеричной системой, заимствованной у вавилонян: во-первых, в этой системе удобно выполнять расчеты, а во-вторых, это было связано и с влиянием весьма развитой вавилонской астрономии на греческую. Правда, эти астрономы для записи целой части числа и единиц каждого шестидесятеричного разряда дробной части пользовались не вавилонскими «клиньями», а более привычной для греков алфавитной нумерацией, – числа в каждом шестидесятеричном разряде, таким образом, получались двузначными. Например, число 359 + 45/60 + 24/3600 греческие астрономы записали бы так.

Рис. 2. Греческая шестидесятеричная нумерация

Т. е. «359,45′24′′» (знак ′ обозначает разрядность: 45 единиц первого разряда, то есть именно 60-х, а 24 единицы второго разряда, то есть 3600-х). Нетрудно увидеть здесь знакомые шестидесятеричные обозначения величины угла с минутами (′) и секундами (′′).

В начале нашей эры индейцы майя пользовались позиционной системой с основанием 20 и с двумя главными знаками – для 1 и для 5. Цифры писали в столбик (старшие разряды сверху), единицу обозначала точка, несколько единиц одного разряда писалось в одну строчку, пятерка обозначалась горизонтальной чертой под точками. У майя был знак для пропущенного разряда (аналогичный нашему нулю), напоминающий полузакрытый глаз. Нумерация майя принципиально отличалась от нашей и от вавилонской тем, что единицами разрядов, кроме 1 и 20, служили не степени 20, а числа 18 ∙ 20n.

Рис. 3. Запись чисел у майя

Важный шаг к десятичной позиционной системе был сделан в древнем Китае. Китайцы пользуются нумерацией, включающей обозначения чисел от 1 до 10, а также 100, 1000 и т. д. Китайская нумерация основана на мультипликативном принципе (от лат. multiplicatio – умножение): если надо изобразить, например, число 30, то они не рисуют три значка для 10, а ставят рядом значки для 3 и для 10. Арифметические действия в древнем и средневековом Китае производились с помощью счетных палочек, которые раскладывали на счетной доске, видимо, разлинованной на строки и столбцы. При этом разные единичные разряды попадали в разные клетки. Таким образом, одни и те же комбинации палочек могли представить, в зависимости от расположения, единицы разных разрядов; при этом не было никакой необходимости в употреблении иероглифов, обозначающих конкретные разряды в мультипликативной записи. Пропущенный разряд при счете на доске был виден непосредственно, в математической же литературе его обозначали кружком, который, возможно, и был предком нашего нуля. Важно, однако, подчеркнуть, что получившееся позиционное изображение чисел применялось, в отличие от древнего Вавилона, только на счетной доске (и в литературе о ней); в обычных текстах китайцы продолжали пользоваться мультипликативной системой.

Рис. 4. Запись чисел в Древнем Китае

Используемые нами символы для обозначения чисел – «арабские цифры» – в действительности восходит к средневековой Индии. В Индии позиционный принцип вначале утвердился в словесных обозначениях чисел. Богатый по своему словарному запасу язык санскрит располагал большим количеством синонимов для разных чисел. При этом, скажем, единица могла именоваться названиями предметов, которые имеются только в единственном числе, например, Луна, Земля; двойка – словами, обозначающими «близнецы», «крылья», «губы»; четверка – словами «океаны», «стороны света» и т. д. Еще в V в. зафиксировано словоупотребление, при котором одно и то же слово в зависимости от места имеет разное числовое значение, а наименование разряда опускается, при чем пустой разряд (нуль) также может обозначаться разными синонимами: «пустое», «небо», «дыра». Например, число 1021 записывалось словами «Луна – дыра – крылья – Луна». Одно из индийских названий нуля – «шунья» (то есть «пустое»; слово играет важную роль в философии буддизма) – было переведено на арабский словом «сыфр», имеющим то же значение и ставшим, таким образом, арабским названием нуля; именно от этого слова происходят русские слова «цифра» и «шифр» (а также, между прочим, английское и французское названия нуля – zero; русское же «нуль» восходит к лат. nullus – никакой). В это же время была разработана нумерация, в которой, во-первых, используются различные девять знаков для чисел от 1 до 9, а во-вторых, эти знаки могут обозначать количества единиц различных разрядов. Первая известная запись такого рода относится к 595 г. (число 346, обозначающее номер года), а первая запись, содержащая нуль, относится к 876 г. (число 270). В литературе конкурируют две теории о происхождении значка для индийского нуля – он может быть заимствован с востока, например, из Китая, но может быть и с запада (Греция и Вавилон). В Индии не только была придумана современная нумерация, но и были разработаны основанные на ней правила арифметических действий, включая извлечение корней.

Распространению индийской позиционной системы на запад способствовали арабские математики начиная с ал-Хорезми (ранее у арабов применялась алфавитная нумерация, похожая на используемые другими семитскими народами Ближнего Востока – сирийцами и евреями; кроме того, арабы часто записывали числа словами, из этой записи в результате ее сокращения возникла новая система обозначения чисел, до сих пор используемая торговцами в странах Востока). Именно благодаря переводам сочинений арабских математиков на латынь индийская позиционная система с XII в. постепенно завоевывает Европу, а имя ал-Хорезми в его латинизированной форме Algorithmus становится названием всей десятичной позиционной арифметики. Впоследствии слово «алгоритм» приобрело смысл всякого вычислительного процесса, происходящего по некоторым правилам и приводящего к решению задач определенного класса за конечное число шагов (например, алгоритм Евклида). Наглядной демонстрации преимуществ (в том числе экономичности) новой нумерации по сравнению с римской уделяет внимание Фибоначчи в «Книге абака».

Следует отметить, что в процессе странствий от Индии к арабам, а затем на латинский Запад начертание многих цифр сильно изменилось. Поскольку эти цифры не сразу обрели установившуюся форму, они сравнительно поздно стали появляться на монетах (лишь с XV в. в континентальной Европе, с XVI в. в Великобритании). На могильных плитах новые цифры появились раньше, уже в XIV в.

Рис. 5. Эволюция арабских цифр