Теорема Пифагора

Египет

Древнегреческие авторы писали о существовании в Египте особого метода для построения прямого угла на местности: этому служила кольцевая веревка, на которой были отмечены 12 узелков на равных расстояниях. Если натянуть данную веревку, образовав треугольник со сторонами, пропорциональными 3, 4 и 5, то этот треугольник будет прямоугольным: в самом деле, его стороны удовлетворяют теореме Пифагора (32 + 42 = 52).

Рис. 1. Египетский треугольник

Прямоугольные треугольники с целочисленными сторонами до сих пор иногда называются египетскими треугольниками. В то же время из сохранившихся древнеегипетских папирусов математического содержания невозможно извлечь никаких свидетельств о знакомстве с теоремой Пифагора, даже в ее частном случае. Вполне возможно, что египтяне знали только об одном целочисленном прямоугольном треугольнике, и знали о нем не раньше середины I тысячелетия до н. э. – времени, к которому относятся первые греческие сведения о египетском методе построения прямого угла.

Вавилон

В отличие от египтян, древние вавилоняне еще в середине II тысячелетия до н. э. хорошо знали, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Сохранилась таблица, из которой ясно, что вавилонянам были известны многие «пифагоровы тройки» целых чисел, удовлетворяющих равенству x2 + y2 = z2, в том числе совсем нетривиальные (например, 72, 65, 97 или 3456, 3367, 4825). К сожалению, мы ничего не знаем о том, каким методом были найдены эти числа. Теорема Пифагора использовалась для вычисления диагонали квадрата; радиуса окружности, описанной около равностороннего треугольника; сторон правильных n-угольников. Сохранились и некоторые задачи, при решении которых надо воспользоваться этой теоремой: например, требовалось определить длину шеста, который вначале вертикально прислонен к стене, а затем наклоняется так, что его верхний конец опускается на три локтя, а нижний отходит от стены на 6 локтей.

Рис. 2. Задача о шесте, Вавилон

Можете ли вы решить эту задачу?

Решение

Китай

Согласно китайскому «Трактату об измерительном шесте» (II в. до н. э.), теорема Пифагора для частного случая – треугольника со сторонами 3, 4, 5 – была известна в Китае еще в XII в. до н. э., а в общем случае – в VI в. до н. э. В комментариях к этой книге указывается, что доказательство теоремы основывалось на следующем чертеже:

Рис. 3. Геометрическое доказательство теоремы Пифагора, Китай, II в. до н. э.

На этом чертеже видно, что большой квадрат (a + b)2 больше, чем квадрат гипотенузы c2, на четыре прямоугольных треугольника c катетами a и b, т. е. на 2ab:

(a + b)2 = c2 + 2ab.

Значит, квадрат гипотенузы равен большому квадрату, уменьшенному на два прямоугольника со сторонами a и b, то есть закрашенной фигуре. А эта фигура, в свою очередь, равна сумме квадратов со сторонами a и b:

Рис. 4. Геометрическое доказательство теоремы Пифагора, Китай, II в. до н. э.

На том же чертеже можно увидеть и другое доказательство. Квадрат гипотенузы больше, чем маленький квадрат в центре (a – b)2, на те же четыре треугольника, или на два прямоугольника:

c2 = (a – b)2 + 2ab.

Это нас снова приводит к той же закрашенной фигуре, равной сумме квадратов катетов.

В Китае теорема Пифагора называлась правилом «гоу-гу»: термины «гоу» (исходно «крюк») и «гу» («ребро», «связка») обозначали горизонтальный (обычно меньший) и вертикальный (обычно больший) катеты. В классическом китайском трактате «Математика в девяти книгах» (II в. до н. э.) последняя книга называется «Гоу-гу» и посвящена задачам, решаемым с помощью теоремы Пифагора. Вот пример такой задачи.

Имеется водоем со стороной в 1 чжан (10 чи). В центре его растет камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснется его. Спрашивается: какова глубина воды и какова длина камыша?

Рис. 5. Задача о камыше, Китай, II в. до н. э.
В самом трактате «Математика в девяти книгах» решение не дается, приводится только правило, по которому можно вычислить ответ, причем в общем виде: «Половину стороны водоема умножь самое на себя, надводную часть в 1 чи умножь самое на себя, вычти это из первого, остаток раздели на удвоенную надводную часть камыша, получишь глубину воды. Прибавь количество чи надводной части, получишь длину камыша». То есть, в алгебраических обозначениях, если сторона водоема равна 2a (10 чи), а надводная часть b (1 чи), то глубина водоема равна (a2b2) / 2b, а длина камыша (((a2b2) / 2b) + b).
Решение

Индия

В Индии теорема Пифагора была известна уже в VII–V вв. до н. э., о чем свидетельствует относящийся к этому периоду комментарий к священным книгам – «Ведам», – озаглавленный «Шулва-сутра» (дословно «Правила веревки») и служивший руководством по строительству алтарей и храмов. Такое строительство подчинялось ряду правил: храмы должны были ориентироваться строго по сторонам света, в их основании лежали определенные геометрические фигуры. Теорема Пифагора использовалась для построения прямых углов (как в Египте) и квадратов с площадью, кратной данному квадрату. Для построения квадрата, равновеликого двум данным квадратам, в большом квадрате строили меньший квадрат и соединяли их вершины, находя гипотенузу треугольника, катетами которого служили стороны исходных квадратов.

Рис. 6. Построение квадрата, равновеликого двум данным. Индия, VII–V вв. до н. э.

Доказательство теоремы Пифагора приводится в книге «Венец астрономического учения» индийского математика XII в. Бхаскары. Собственно, все доказательство состоит из чертежа, похожего на вышеприведенный китайский. В качестве пояснения фигурирует лишь слово «Смотри!». В Индии, в отличие от Греции, главным в математическом доказательстве была наглядная убедительность, а не логическая строгость.

Тот же Бхаскара приводит и ряд задач на применение теоремы Пифагора, похожих на задачи «Математики в девяти книгах». Среди них и задача о водоеме – в индийском варианте в ней вместо камыша фигурирует лотос.

Греция

Вполне вероятно, что в Греции теорему Пифагора впервые доказал сам Пифагор или кто-то из пифагорейцев.

Особенностью греческой математики по сравнению с математикой стран Востока было стремление к строгим доказательствам. Первому греческому математику Фалесу последующая традиция приписывает доказательство таких фактов, как равенство полукругов, равенство вертикальных углов, равенство углов при основании равнобедренного треугольника. Если эти сведения верны, то главное новаторство Фалеса заключалось в самой идее математического доказательства утверждений, в общем-то, очевидных, то есть в открытии логической связи между различными математическими фактами. На этом фоне теорема Пифагора выделяется как раз своей неочевидностью, и тот, кто ее доказал, продемонстрировал ценность нового математического подхода, позволяющего доказывать новые результаты.

Неизвестно, как впервые была доказана теорема Пифагора. Рассмотрим доказательство, приведенное в «Началах» Евклида. Российские школьники прошлых времен, изучавшие геометрию по Евклиду, в шутку называли это доказательство «пифагоровы штаны».

Рис. 7. Теорема Пифагора в «Началах» Евклида

Идея доказательства следующая. Квадрат на левом катете – ABFH – равновелик удвоенному треугольнику FBC, потому что у них общее основание FB и общая высота AB = FH. Треугольник FBC равен треугольнику ABD по двум сторонам и углу между ними: FB = AB, BC равно BD, FBC = FBA + ABC = 90° + ABC = CBD + ABC = ABD (фактически, треугольник FBC при повороте вокруг вершины B на 90° перейдет в треугольник ABD). Треугольник ABD равновелик половине прямоугольника BMLD, потому что у них общее основание BD и общая высота BM = LD. Таким образом, квадрат ABFH равновелик прямоугольнику BMLD. Точно так же доказывается, что квадрат на правом катете – CAGK – равновелик прямоугольнику LMCE. Следовательно, оба квадрата на катетах, вместе взятые, равновелики квадрату BCED на гипотенузе.

Модель 1. Теорема Пифагора. Доказательство Евклида

Некоторые авторы, в частности, философ А. Шопенгауэр, критиковали евклидово доказательство как недостаточно наглядное по сравнению с индийским. Однако доказательство Евклида имеет и свои достоинства: в частности, оно демонстрирует, каким именно частям квадрата гипотенузы равновелики квадраты катетов. Кроме того, знакомство с доказательствами Евклида постепенно формирует способность непосредственно усматривать равенство и равновеликость фигур в том числе в не очень очевидных случаях, что бывает полезно при переходе к более сложным задачам.