Задача по физике N135

Поезд длиной

м движется по инерции без трения по горизонтальному участку железной дороги, переходящему в горку (см. рисунок). При какой минимальной скорости

поезд перекатится через горку? Основание горки имеет длину

м, длины склонов

м и

м. Склоны горки можно считать прямолинейными, участки закруглений — малыми.

Скрыть решение

Решение Потенциальная энергия поезда максимальна тогда, когда часть поезда полностью занимает оба склона горки (см. рис.). Поскольку, как видно из условия, для длин склонов и основания горки выполняется теорема Пифагора: , то угол при вершине горки — прямой (закруглениями мы пренебрегаем). Следовательно, высота горки , а средняя высота подъёма части поезда, находящейся на горке, составляет . Поскольку масса указанной части поезда пропорциональна её длине, то можно найти потенциальную энергию поезда относительно подножия горки:

$\begin{displaymath} U=M\cdot \mathchoice{\displaystyle\frac{l_1+l_2}{L}}{\displ... ...}{2Ll}}{\displaystyle\frac{M\textsl{g}(l_1+l_2)l_1l_2}{2Ll}}, \end{displaymath}$

где

— масса всего поезда. Для того, чтобы поезд преодолел горку, его начальная кинетическая энергия

должна быть больше потенциальной энергии

. Отсюда искомая минимальная скорость поезда

$\begin{displaymath} v_{\min}=\sqrt{\textsl{g}\mathchoice{\displaystyle\frac{(l_... ...frac{(l_1+l_2)l_1l_2}{Ll}}} \approx 11{,}5 \mbox{м}/\mbox{с}. \end{displaymath}$

Ответ

$\begin{displaymath} v_{\min}=\sqrt{\textsl{g}\mathchoice{\displaystyle\frac{(l_... ...frac{(l_1+l_2)l_1l_2}{Ll}}} \approx 11{,}5 \mbox{м}/\mbox{с}. \end{displaymath}$