О гипотезе сплошности среды. Гидроаэромеханика изучает движения жидкостей и газов в приближении, когда они могут рассматриваться как сплошные среды, т.е. среды, непрерывным образом заполняющие рассматриваемое пространство течения. Чтобы решать математические проблемы, связанные с расчетом движения различных объектов (самолетов, ракет, кораблей и др.) в воздухе или воде, с изучением волновых процессов в жидкостях и газах, с их течениями по трубам и каналам и т.п., необходим математический аппарат, описывающий эти явления. Этим аппаратом и являются уравнения гидроаэромеханики, которые опираются на гипотезу сплошности среды, т.е. на гипотезу о том, что частицы жидкости или газа непрерывным образом заполняют занимаемую ими часть физического пространства.

Возникает естественный вопрос: при каких предположениях справедлива эта гипотеза? Если для жидкостей (воды, жидких металлов и т.п.) эта гипотеза более или менее очевидна, то для достаточно разреженных газов (например, занимающих космическое пространство, включая атмосферы звезд, планет и Солнца), которые состоят из отдельных атомов или молекул, а также других физических объектов, к которым применим аппарат гидроаэромеханики, она требует своего обоснования. Так, например, при расчете торможения искусственных спутников Земли использование математического аппарата гидроаэромеханики не представляется возможным, в то время как именно этот аппарат используется при расчете торможения космических объектов, входящих в плотные слои атмосфер Земли и планет (например, метеоритов или возвращаемых на Землю космических кораблей и пр.). На этот вопрос легко ответить при выводе уравнений. Однако из этого вывода следует, что гипотеза сплошности среды справедлива, в частности, в том случае, когда характерный размер обтекаемого тела L (например, радиус сферического спутника) много больше длины свободного пробега атомов или молекул газа l, т.е. длины между последовательными их столкновениями.

Замкнутая система уравнений гидроаэромеханики. Уравнения гидроаэромеханики в их упрощенном виде представляют собой сложную систему нелинейных дифференциальных уравнений для массовой плотности r (масса жидкости или газа в единице объема), вектора скорости V и давления p, которые, в свою очередь, являются функциями пространственных координат (например, x, y и z в декартовой системе координат) и времени t. Не вдаваясь в математические подробности вывода этих уравнений, можно рассмотреть основные идеи этого вывода, тем более, что эти уравнения представляют собой известные даже из школьных учебников законы сохранения массы, импульса и энергии. Для этого рассматривается некоторый физический объем, непрерывным образом заполненный жидкостью или газом. На рис. 1 изображена движущаяся жидкость (или газ), непрерывным образом заполняющая некоторую часть физического пространства. Выделим из нее некоторый объем U (ограниченный поверхностью S), который в течение всего времени движения состоит из одних и тех же частиц жидкости (этот объем заштрихован).

Очевидно, что при своем движении масса жидкости, заключенная в объеме U, остается постоянной (если, конечно, нет каких-либо дополнительных источников этой массы), хотя сам объем может сильно деформироваться, поскольку частицы не скреплены жестко, как в твердом теле. Если выделить из рассматриваемого объема бесконечно малый элемент DU, то очевидно, что в этом элементе масса жидкости или газа будет равна rDU. Тогда закон сохранения массы, заключенной в выделенном объеме U, можно записать в виде

т.е. масса жидкости или газа, заключенная в выделенном объеме U, не изменяется со временем. Здесь интеграл берется по выделенному объему U, который меняется со временем t. Если использовать формулу производной по времени от интеграла по движущемуся объему, можно получить уравнение

где оператор дивиргенции , примененный к произвольному вектору А, в декартовой системе координат будет имеет вид

а – частные производные по времени t и координатам x, y, z соответственно.

Закон сохранения массы в интегральной форме справедлив как для непрерывных, так и для разрывных функций r и V. Для непрерывных функций закон сохранения массы можно записать в дифференциальной форме

Это уравнение в гидроаэромеханике обычно называется уравнением неразрывности.

Аналогично можно записать теперь закон сохранения импульса. Импульс единицы объема жидкости, равен rV, в элементарном объеме rDU, а в выделенном объеме U –

Обобщение второго закона Ньютона на жидкие среды заключается в том, что кроме массовых сил (например, силы гравитации), которые действуют на любую частицу жидкости, находящуюся внутри выделенного объема U, действуют еще поверхностные силы, которые возникают от воздействия частиц жидкости, примыкающих к поверхности S с внешней от выделенного объема U стороне. Тогда закон сохранения импульса имеет вид

где p_n– вектор поверхностной силы, который действует на элемент поверхности S с единичным вектором нормали n. Одной из основных проблем гидроаэромеханики, окончательно решенной в середине 19 в., является явное определение поверхностных сил. В рамках используемого здесь так называемого феноменологического подхода к получению уравнений гидроаэромеханики, поверхностные силы определяются эмпирически. Дифференцируя по времени интеграл слева в уравнении импульса, как это делалось при выводе уравнения неразрывности, и переходя от поверхностного интеграла справа к объемному, можно написать дифференциальные уравнения движения для непрерывных функций в виде

где

.

а величины u, v и w, а также – являются проекциями векторов скорости V и градиента давления на оси Ox, Oy и Oz соответственно.

Это уравнение, называемое уравнением Навье – Стокса, выписано в наиболее простой форме для несжимаемой жидкости, где поверхностные силы сводятся к нормальному давлению р, а последний член справа представляет собой «вязкие» силы (m – коэффициент вязкости) в предположении, что r = const.

Впервые уравнение движения было выведено в середине 18 в. Л.Эйлером, когда он работал в Петербургской Академии наук. Поскольку эффекты вязкости в жидкости в то время еще не были известны, то Эйлер получил это уравнение при m = 0. В честь его эти уравнения были названы уравнениями Эйлера. Только в 1822 французским инженером Навье в уравнения Эйлера были введены силы, связанные с вязкостью, определяемой коэффициентом m. В общей форме, справедливой и для сжимаемого газа, уравнение получено Стоксом и получило название уравнения Навье – Стокса.

Для несжимаемой жидкости дифференциальные уравнения неразрывности и импульса (одно скалярное и одно векторное) являются замкнутой системой уравнений для определения вектора скорости V и скалярного давления р (r = const). Если же r № const, то требуется дополнительное уравнение. Это уравнение получается из закона сохранения энергии.

Обобщение закона сохранения энергии на случай движения жидкостей и газов получается аналогично обобщению второго закона Ньютона, однако, в силу наличия теплового движения в жидкостях и газах, энергия, приходящаяся на единицу объема, состоит из кинетической энергии rV²/2 и внутренней энергией re, связанной с тепловым движением частиц газа или жидкости. Полная энергия в элементе объема DU равна r(V²/2 + e)DU.

Изменение полной энергии в выделенном объеме U равно притоку тепла через поверхность S за счет теплопроводности, а также работе массовых и поверхностных сил, т.е. вместо закона сохранения импульса, получается уравнение

где n – единичный вектор нормали к поверхности S.

Для совершенного газа e = c_v T, где сv – теплоемкость при постоянном объеме, T – температура, а для вектора потока тепла обычно принимается эмпирический закон Фурье q = – l T (l – коэффициент теплопроводности). После соответствующего дифференцирования по времени левой части уравнения энергии, перехода от поверхностных интегралов к объемным и при использовании уравнения неразрывности и уравнения движения, можно получить так называемое уравнение притока тепла для непрерывных функций

Все эти уравнения, вместе с уравнением состояния для совершенного газа

p = r R T,

где R = (с_р – сv ) – газовая постоянная, а с_р – теплоемкость при постоянном давлении, и законом Фурье

Образуют замкнутую систему уравнений гидроаэромеханики для определения вектора скорости V, давления p, плотности r и температуры Т.

Если какое либо физическое явление мало зависит от диссипативных процессов (вязкости и теплопроводности), то уравнения эти уравнения сводятся к уравнениям гидроаэромеханики идеальной жидкости. В этом случае замкнутой системой уравнений для определения р, r, V и Т является система

(9)

Последнее уравнение есть адиабатический закон, который легко сводится к закону сохранения энтропии. Здесь g = сp/c_v – показатель адиабаты, т.е. отношение теплоемкости при постоянном давлении к теплоемкости при постоянном объеме.

Гидростатика представляет собой частный случай гидроаэромеханики, который изучает равновесие жидкостей и газов, т.е. их состояние при отсутствии гидродинамической скорости (V = 0). Результаты и методы гидростатики имеют большое значение для многих задач, важных как с практической, так и с общенаучной точек зрения. В гидростатике рассматриваются задачи, связанные с равновесием воды в водных бассейнах, воздуха в атмосфере Земли, решаются задачи расчета сил, которые действуют на тела, погруженные в жидкость или газ, определяются распределения давления, плотности, температуры в атмосферах планет, звезд, Солнца и множество других задач.

Уравнения гидростатики получаются из уравнений гидроаэромеханики при V = 0. В частности, уравнения сохранения импульса дает

Откуда, в частности, следует известный еще из школьных учебников закон Паскаля, согласно которому при отсутствии внешних массовых сил (F = 0) давление всюду является постоянным (p = const ).

Равновесие совершенного газа в поле сил тяжести. Пусть есть газ в центральном поле сил тяжести. Уравнения равновесия в сферической системе координат будут в этом случае записываются как:

Здесь r, q и c – соответственно расстояние до притягивающего центра массы М, помещенного в начало координат, угол, отсчитываемый от полярной оси Оz, и угол в плоскости Оxy, G – гравитационная постоянная, равная 6,67Ч10^–8 дин см2 г–2 .

Из этих уравнений видно, что в центрально-симметричном поле гравитации давление зависит только от расстояния до этого центра (легко показать, что давление не зависит и от времени). Легко также показать, что плотность и температура также зависят только от координаты r. Интегрирование первого из этих уравнений приводит к так называемой барометрической формуле, если под М понимать массу Земли, планеты, звезды, Солнца и др. При использовании уравнения состояния барометрическая формула имеет вид

где p0 – давление на некотором расстоянии r = r0 от притягивающего центра (для Земли, например, это может быть давление на уровне моря). Эта формула определяет распределение давления в атмосферах звезд, Земли, планет, Солнца и др., если известно распределение температуры Т(r), однако эту температуру часто нельзя определить из написанного ранее уравнения притока тепла, так как в нем учитывается только приток тепла за счет теплопроводности, в то время как для перечисленных атмосфер есть другие источники тепла, неучтенные в приведенном уравнении. Например, атмосфера Солнца разогревается различного рода волновыми процессами, а атмосфера Земли перерабатывает энергию солнечного излучения и т.п., поэтому для определения распределения давления в атмосферах небесных тел при помощи барометрической формулы часто используются эмпирические зависимости Т(r).

Можно, например, рассчитать распределения давления в атмосфере Земли до расстояний в 11 км от ее поверхности. Если выбрать декартову систему координат с началом на поверхности Земли и направить ось Oz вертикально вверх, тогда в барометрической формуле вместо координаты r нужно брать координату z = r – RЕ, где RЕ – радиус Земли. Поскольку этот радиус много больше толщины атмосферы (z << RЕ), то барометрическую формулу для плоской атмосферы можно переписать в виде

Здесь введено обозначение для ускорения земного притяжения

где – масса Земли.

В ограниченном диапазоне высот до 11 км, важном в практическом отношении (пассажирские самолеты обычно летают на высотах, не превышающих эту высоту, альпинисты поднимаются на вершины, самая высокая из которых Эверест имеет высоту ~ 8,800 м и т.д.) часто аппроксимируют температуру линейной функцией высоты

где Т0 – абсолютная температура на поверхности моря (z = 0), D – эмпирическая величина, физически означающая уменьшение температуры при подъеме на 100м. Для реальной атмосферы часто принимается D = 0,65, Т0 = 288К.

Если принять такое распределение температуры, то давление записывается в виде

Отсюда видно, что принятая эмпирическая линейная зависимость Т(z) неприемлема для всей атмосферы Земли, так как на высотах, больших 44 км, давление становится отрицательным. Однако она приемлема для высот, имеющих важное практическое значение. Из экспериментов, выполненных при помощи спутников, высотных ракет и т.п., оказывается, что на больших высотах температура является очень сложной и немонотонной функцией высоты. Эта немонотонность обусловлена сложным процессом переработки солнечной энергии верхними слоями атмосферы Земли, которые не учитываются уравнением притока тепла.

Равновесие несжимаемых жидкостей. Если рассмотреть простой пример равновесия несжимаемой жидкости в гравитационном поле Земли, то из условий равновесия при r = const получается, что

p = p₀ – r gz или р = p₀ + r gh,

где h – глубина жидкости под ее поверхностью, р0 – давление на поверхности (рис. 2). Эта формула, известная из школьных учебников, показывает, как давление в жидкости возрастает с ее глубиной. С помощью этой формулы легко рассчитать давление на дно сосуда, заполненного жидкостью. Интересно, что это давление зависит от глубины, но не зависит от формы сосуда. В частности, на рис. 3 давление на дно сосудов 1 и 2 одинаковой площади дна S будет одинаковым или сила, действующая на дно этих сосудов вследствие давления жидкостей, будет одинаковой.

Много важных приложений основывается на решениях уравнений гидростатики (закон Архимеда, устойчивость равновесия атмосфер звезд и планет и т.п.).

1. Модель несжимаемой жидкости.

Уравнения гидроаэромеханики для вязких и теплопроводных жидкостей или газов в большинстве очень важных для практики проблем поддаются решению только численными методами. Однако эти уравнения существенно упрощаются в предположении, что для рассматриваемого течения справедливо предположение о его несжимаемости (r = const). Хотя строго несжимаемых жидкостей или газов в природе не существует, тем не менее, во многих случаях, например, сжимаемый газ можно рассматривать как несжимаемую жидкость, поскольку изменением плотности во многих течениях можно пренебречь. При этом уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости принимает вид div = 0.

Вместе с уравнением сохранения импульса оно образует замкнутую систему уравнений для определения давления р и скорости V. Два критерия определяют возможность использования модели несжимаемой жидкости для, вообще говоря, сжимаемого газа

где M – так называемое число Маха, a – скорость распространения звука в газе, V* – характерная скорость течения (например, скорость движения воздуха относительно летящего самолета), t* – характерное время нестационарности движения (например, характерное время пульсаций параметров воздуха перед летящим самолетом), L – характерный размер задачи (например, размер обтекаемого тела). Для стационарного течения достаточен только первый критерий. Эти критерии имеют ясный физический смысл. Например, при полете самолетов с большой дозвуковой скоростью модель несжимаемой жидкости можно использовать при расчете характеристик обтекания такого самолета (сопротивление, подъемную силу и пр.). Если же самолет летит со сверхзвуковой скоростью, то перед ним образуется так называемая ударная волна, характерной особенностью которой являются резкие скачки в ней давления, скорости, плотности и температуры. Образование ударной волны – это типичный признак существенности изменения плотности, т.е. типичный признак сжимаемости течения.

Течение вязкой жидкости в цилиндрической трубе (течение Гагена – Пуазейля). Важной задачей является рассмотрение течений вязких несжимаемых жидкостей в цилиндрической трубе круглого сечения радиуса R (Рис. 4) под действием перепада давления на концах этой трубы P = (p₂ – p₁)/L, где L – длина трубы. Если предположить, что длина трубы настолько велика, что вход, где давление p₂, и выход, где давление p₁ (p₂ > p₁), не влияют на течение в большей части этой трубы, то легко получить точное аналитическое решение уравнения Навье – Стокса в виде

где u – скорость жидкости вдоль оси х, совпадающей с осью симметрии трубы, а r – расстояние от этой оси. Из этой видно, что профиль скорости в трубе является параболическим. На стенках трубы скорость обращается в нуль вследствие прилипания жидкости из-за эффекта вязкости. Такое течение было изучено в середине 19 в. Пуазейлем и Гагеном на примере течений жидкостей в капиллярах и получило название течения Гагена – Пуазейля.

Очевидно, при постоянном потоке (не зависящем от r) жидкости у входа в трубу и на ее начальном участке профиль скорости не будет совпадать с приведенным решением. Параболический профиль устанавливается лишь на достаточно большом расстоянии от входного участка, именно поэтому для получения решения нужно предположить, что труба достаточно длинная, при этом для таких труб это точное решение хорошо совпадает с экспериментальными данными.

Полученное решение описывает стационарное, гладко-слоистое течение, которое обычно называют ламинарным. Однако из практики известно, что в трубах иногда течение бывает нестационарным, с пульсациями скорости, с перемешиванием между слоями, это течение обычно называется турбулентным. Опыты Рейнольдса, проведенные в 1883, показали, что при достаточно больших значениях числа r U L/m, где U – средняя по сечению трубы скорость жидкости, параболический профиль становится неустойчивым по отношению к малым возмущениям, а при дальнейшем увеличении этого числа течение в трубе становится турбулентным. Это число получило название числа Рейнольдса (Re), которое играет очень важную роль в различных задачах гидроаэромеханики. В частности оно характеризует отношение инерционных сил (левая часть уравнения) к силам вязкости, при этом часто силами вязкости можно пренебречь и использовать уравнения гидроаэромеханики идеальной жидкоститолько при Re >> 1.

Течения идеальных жидкостей и газов. Часто важные в приложениях задачи рассматривают на основе уравнений гидроаэромеханики идеальной жидкости, а не на полных уравнениях. Это связано с тем, что математически уравнения идеальной гидроаэромеханики существенно проще. Если нужно определить подъемную силу крыла самолета при малых дозвуковых скоростях, то вязкие силы пренебрежимо малы и нет необходимости использовать уравнения Навье – Стокса. Однако для определения сопротивления такого крыла при движении его в воздухе вязкие силы оказываются определяющими и необходимо использовать более сложный математический аппарат, связанный с уравнениями Навье – Стокса.

Интеграл Бернулли. При некоторых предположениях уравнения гидромеханики идеальной жидкости можно один раз проинтегрировать, они имеют решения, одним из которых является интеграл Бернулли для стационарных течений (по имени современника Эйлера математика Бернулли, впервые получившего этот интеграл)

где P (p) = т dp/r(p) – функция давления, U – потенциал внешних массовых сил, С – постоянная вдоль линии тока l (линия тока совпадает с вектором скорости течения V). Так, например, для несжимаемой жидкости в поле земного тяготения это уравнение имеет вид

Для адиабатических течений интеграл Бернулли в отсутствии внешних массовых сил имеет вид

В качестве примера использования интеграла Бернулли можно определить скорость истечения несжимаемой жидкости из сосуда (рис. 5). При истечении жидкости из этого сосуда уровень жидкости понижается, т.е. скорость поверхности жидкости, вообще говоря, отлична от нуля. Однако при достаточно широком сосуде с узким отверстием вытекания можно принять, что V₁ » 0. Поскольку по всей поверхности жидкости в сосуде давление р1 = const, то постоянная вдоль линии тока на всех линиях тока будет одинаковой. Интеграл Бернулли вдоль какой-нибудь линии тока, например, соединяющей точки 1 (на поверхности) и 2 (у выходного отверстия)

где р_атм – атмосферное давление у выходного отверстия. Отсюда легко получить формулу для скорости истечения V₂. В частном случае р_атм = р1 получаем так называемую формулу Торичелли для истечения жидкости из широкого сосуда с узким выходным отверстием

по имени итальянского ученого Э.Торричелли (1608–1647). Здесь h = (z₁ – z₂ ). Для ванны с высотой налитой воды примерно 0,5 м скорость истечения V₂ » 3,1м/сек.

Уравнения движения идеальной жидкости имеют еще один интеграл для нестационарных течений, который называется интегралом Коши – Лагранжа. Он справедлив для течений, в которых отсутствуют вихри. Его часто, например, используют при рассмотрении волновых движений жидкости или газа.

Ударные волны как одно из важных проявлений сжимаемости газа. Математически уравнения идеальной гидроаэромеханики допускают разрывные решения, т.е. решения, которые имеют скачки параметров газа (плотности, давления, скорости и температуры). Одним из таких проявлений в природе является образование ударной волны около летящего со сверхзвуковой скоростью тела в плотных слоях атмосферы Земли. Например, образование ударной волны около летающих сверхзвуковых самолетов или ударных волн около метеоритов, вторгающихся в плотные слои атмосферы Земли с большими сверхзвуковыми скоростями. В условиях космического пространства хорошо известны межпланетные ударные волны, которые чаще всего являются результатом активных процессов на Солнце (например, вспышек).

Известно, что около пассажирских самолетов, летающих главным образом с большими дозвуковыми, никакие ударные волны не образуются. Пусть есть сферическое тело радиуса R (рис. 6), которое летит в воздухе со сверхзвуковой скоростью. Тогда впереди такого тела образуется ударная волна В, являющаяся границей между областями 1 и 2, которые отличаются значениями параметров газа. В системе координат, связанной с летящим телом. поток газа набегает на покоящееся тело. Пусть ось Оx направлена вдоль скорости потока, а V1, p1, r1 и T1 – скорость, давление, плотность и температура, соответственно, в невозмущенном телом потоке газа (до ударной волны). В область 1 возмущения от тела не попадают, поскольку тело движется со сверхзвуковой скоростью. Так как скорость газа в лобовой точке тела А обращается в нуль, то от точки А до точки С на ударной волне есть область дозвуковой скорости газа, которой достигают возмущения воздуха от летящего тела. Физический смысл образования ударной волны и заключается в разделении невозмущенного и возмущенного потоков газа. Если через V2, p2, r2 и T2 обозначить скорость, давление, плотность и температуру газа соответственно сразу же после ударной волны В, то справедливы неравенства

V2 < V1, p2 > p1 , r2 > r1 , T2 > T1.

Это означает, что скорость за ударной волной уменьшается, а давление, плотность и температура возрастают. Сильным возрастанием температуры за ударной волной и объясняется оплавление возвращающихся на Землю космических аппаратов и метеоритов, вторгающихся в атмосферу с большими сверхзвуковыми скоростями. Такие ударные волны называются ударными волнами сжатия (плотность газа возрастает). Интересно, что в природе никогда не наблюдались ударные волны разрежения, в которых плотность падает. Математически образование ударных волн разрежения запрещается известной в гидроаэромеханике теоремой Цемплена

Соотношения между параметрами с индексами «1» и «2» можно получить из интегральных законов сохранения массы, импульса и энергии, поскольку они справедливы и для разрывных функций. Такие соотношения называются соотношениями Гюгонио и имеют вид (в системе координат, связанной с ударной волной)

r1 V_n1 = r2 V_n2 ; r1 V_n1V₁ + p₁ n = r2 V_n2V₂ + p₂ n ;

[r1 V1²/2 + p1 g/(g – 1)]V_n1 = [r2 V2²/2 + p2g/(g – 1)]V_n2.

Вместе с уравнением состояния эти соотношения позволяют определить значения параметров газа за ударной волной (индекс «2») по значениям параметров невозмущенного ударной волной потока газа (индекс «1»).

Описанный математический аппарат гидроаэромеханики используется во многих областях естественных наук, при этом для корректности использования этого аппарата требуется только выполнение критерия сплошности среды, т.е. для газов, например, длина свободного пробега частиц должна быть много меньше характерных размеров рассматриваемых объектов обтекания. В частности, в условиях космического пространства часто среда очень разрежена. В таких средах, конечно же, длина свободного пробега частиц очень велика, но размеры самих объектов исследования оказываются во многих случаях существенно больше, т.е. методы гидроаэромеханики применимы и к таким объектам.

В биомеханике при помощи методов гидромеханики исследуются интересные особенности течений биологических жидкостей по сосудам, а в гидрогеологии исследуются, например, задачи динамики внутренних слоев Земли. Все это свидетельствует о важности науки, которая называется «гидроаэромеханика».

Владимир Баранов

Ландау Л.Д. и Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред. М., ГИТТЛ, 1954
Чепмен С. и Каулинг Т. Математическая теория неоднородных газов. ИИЛ, М., 1960
Кочин Н.Е., Кибель и Розе. Теоретическая гидромеханика, т.1. Физматгиз, 1963
Кочин Н.Е., Кибель и Розе, Теоретическая гидромеханика, т.2, Физматгиз, 1963
Седов Л.И. Механика сплошной среды. М., Наука, т. 1, 1973
Седов Л.И. Механика сплошной среды. М., Наука, т. 2, 1973
Баранов В.Б. и Краснобаев К.В., Гидродинамическая теория космической плазмы, М., Изд. «Наука», 1977
Эйлер Л. Общие законы движения жидкостей. Известия РАН, сер. МЖГ, 1999, № 6