Тригонометрические функции

Тригонометрией (по-гречески дословно «измерение треугольников») называется раздел математики, изучающий зависимости между сторонами треугольника и его углами, а также возникающие при рассмотрении этих зависимостей тригонометрические функции – синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс, косеканс – которые позволяют по одним элементам треугольника находить (вычислять) другие (операция, называемая решением треугольников). Следует отметить, что указанные функции имеют в математике весьма широкое применение, существенно выходящее за рамки решения каких бы то ни было треугольников. Поэтому некоторые математики, например, Ф. Клейн, предлагали назвать эти функции не тригонометрическими, а гониометрическими (по-гречески гониометрия – измерение углов). Но это название не прижилось, и функции остались тригонометрическими.

Помните ли вы, как эти функции определяются с помощью соотношения между сторонами прямоугольного треугольника?

Рис. 1. Прямоугольный треугольник
Ответ

Кроме того, эти же функции можно изобразить в виде отрезков в единичном круге:

Рис. 2. Основные тригонометрические функции

История тригонометрии насчитывает не одно тысячелетие. Оказывается, что определенными тригонометрическими знаниями обладали уже древние египтяне. Как известно, для них большую роль играло строительство пирамид. Так вот, египтяне могли охарактеризовать угол наклона α боковой стороны пирамиды к ее основанию, указывая число локтей (мер длины), на которое высота, опущенная из вершины пирамиды на сторону основания, отклоняется от вертикали при подъеме на один локоть.

Рис. 3. Наклон боковой грани пирамиды в Египте измерялся с помощью котангенса угла

Фактически, эта характеристика представляет собой отношение половины стороны основания к высоте пирамиды, то есть ctg α.

Тригонометрией активно занимались древние греки – но не в «классический» период, итог которому подвели «Начала» Евклида, стремящиеся построить математику без каких-либо измерений, а в более поздний период (нач. I тысячелетия н. э. – сочинения Менелая и Клавдия Птолемея), когда проблемы измерения стали играть большую роль. У греков была единственная «тригонометрическая функция»: это была длина хорды, стягивающая данную дугу (само слово «хорда» в переводе означает «струна» или «тетива»). Если радиус окружности равен R, то в современных обозначениях длина хорды, стягивающей дугу 2α, равна 2R sin α. От всех теперешних тригонометрических функций длина хорды отличается тем, что является не безразмерным отношением двух отрезков, а именно длиной отрезка (вообще говоря, не в единичном круге) и зависит от радиуса рассматриваемой окружности (пропорциональна этому радиусу).

Рис. 4. В Греции тригонометрические функции возникли при расчете длины хорды

В Индии хорда тоже называлась тетивой, а перпендикуляр, опущенный из середины дуги на стягивающую ее хорду, – «стрелой» (между прочим, по-русски иногда тоже говорят «стрела сегмента»). Индийский математик V–VI вв. Варахамихира заменил хорду полухордой, соответствующей R sin α. Такая замена позволяла вводить разные функции, связанные с углами и сторонами прямоугольного треугольника. Отрезок R sin α назывался «ардха-джива» – половина тетивы, а затем нередко просто «джива» (тетива). Кроме того, использовались функции «котиджива» (R cos α) и «уткрамаджива» (R (1 – cos α); в европейской математике прошлых эпох функция (1 – cos α) называлась «синус-версус», сокращенное обозначение sin vers α).

Рис. 5. В Индии V–VI вв. в качестве тригонометрической функции выступала длина полухорды

Варахамихира привел простейшие соотношения между тригонометрическими функциями, соответствующие формулам:

sin2 α + sin vers2 α = 4 sin2 (α/2),
sin2 (α/2) = (sin vers α) / 2.

А вы понимаете, почему это так?

Рис. 6. Тригонометрическая функция половинного угла
Ответ

Восприняв индийскую терминологию, арабы оставили слово «джива» без перевода, транслитерировав его как «джайб», что по-арабски означает «пазуха». В дальнейшем европейцы дословно перевели «джайб» на латынь, и получилось знакомое нам слово sinus, также исходно означавшее пазуху (впрочем, в математических текстах XII в. встречается и слово geib – транскрипция слова «джайб»). Поскольку под синусом подразумевался определенный отрезок (половина хорды), максимально возможный синус был равен радиусу – отсюда традиция называть радиус окружности «наибольшим синусом», или «полным синусом»: в Европе долгое время радиус обозначали sinus totus («полный синус»), сокращенно sin tot. От арабского выражения «джайб тамам» («синус дополнения» – имеется в виду угол (90° – α)) произошло имеющее тот же смысл латинское complementi sinus, сокращенно cosinus. Иногда, впрочем, европейские математики пользовались выражениями вроде «хорда двойной дуги», употреблявшимися Птолемеем; так, например, писал Коперник, посвятивший тригонометрии две главы своей знаменитой книги «О вращении небесных сфер» и составивший новые, более точные тригонометрические таблицы.

Тангенс и котангенс исходно рассматривались как тени гномонов – горизонтального и вертикального – соответственно на вертикальной и горизонтальной стене. Отсюда их арабские названия «зилл ма'кус» (обращенная тень) и «зилл мустав» (плоская тень); затем они стали просто «тенью» и «тенью дополнения». Подобные термины использовались и в Европе: umbra versa (обращенная тень) и umbra recta (прямая тень).

Рис. 7. Арабские тангенс и котангенс

Секанс и косеканс как продолжающие диаметр называли, соответственно, диаметрами обращенной и плоской тени, а затем – первым и вторым диаметрами. Теоретический интерес от секанса и косеканса невелик, но иметь их таблицы удобны для практики: при вычислениях легче умножать, чем делить.

Термины tangens (дословно «касающийся») и secans («секущий») введены в книге датского математика Томаса Финке «Геометрия круглого» (1583 г.). А само слово «тригонометрия» предложил в 1595 г. немецкий математик В. Питиск, автор учебника по тригонометрии и издатель тригонометрических таблиц.

Долгое время под синусом, косинусом, тангенсом и т. д. понимали определенные отрезки в круге – не обязательно единичном, даже как правило не единичном (этот радиус в разных формулах обозначался sinus totus). Например, Иоганн Мюллер (Региомонтан) вычислил таблицы синусов и тангенсов для круга радиуса 107, что соответствует, в наших терминах, их вычислению с точностью до 10–7: дело в том, что в то время применение десятичных дробей еще не утвердилось, и математики предпочитали приводить в таблицах целые значения!

Современное понимание тригонометрических функций как безразмерных отношений (или отрезков в единичном круге), равно как и правильное определение знаков тригонометрических функций для углов, лежащих в разных четвертях (т. е. формулы приведения), появились у Л. Эйлера (1-й том «Введения в анализ бесконечных», 1748 год). Эйлер пользовался почти современными обозначениями (sin. z или sin. Az, где A. – сокращение от arcus, «дуга»).