Перспектива. Теоремы Дезарга, Паскаля и Чевы

Перспективное изображение пространственных фигур, т. е. их центральное проектирование на плоскость, использовалось уже в древности при изготовлении театральных декораций, которые должны были создать в зрителе иллюзию реальности происходящего на сцене. Теория перспективы разрабатывалась в сочинениях по оптике Евклида, Птолемея, а затем арабского астронома и математика X в. Ибн ал-Хайсама, известного на средневековом латинском Западе как Альхазен. Их результаты были собраны и изложены в «Оптике», написанной первым польским ученым – Витело (XIII в.).

Большой практический и теоретический интерес к перспективе возник в эпоху Возрождения. Мастера Возрождения рассматривали картину как «окно» в мир, «прозрачное» плоское сечение конуса, образованного прямыми, соединяющими глаз с различными точками пространства. С XV в. появляются многочисленные трактаты, посвященные перспективе. Хотя в большинстве этих трактатов содержатся лишь практические рецепты и правила, некоторые авторы делали попытки построить связную теорию (Пьеро делла Франческа, Леон Баттиста Альберти, Альбрехт Дюрер). Художники Возрождения нередко сближали живопись и науку: так, Леонардо да Винчи считал, что художественное творчество позволяет раскрыть свойства реального мира.

Рис. 1. Принципы построения перстпективы

На перспективных изображениях прямые, параллельные плоскости проекции, остаются параллельными между собой. Все другие параллельные прямые изображаются как сходящиеся – точка схождения их не что иное, как изображение бесконечно удаленной точки, общей параллельным прямым. Если плоскость проекции вертикальна, то изображения параллельных горизонтальных прямых сходятся в точках, лежащих на одной и той же прямой – на линии горизонта, которая представляет собой изображение бесконечно удаленной прямой горизонтальной плоскости. Отношение длин отрезков, параллельных плоскости проекции и находящихся на равном расстоянии от нее, сохраняется. В то же время легко видеть, что масштаб перспективного изображения меняется: чем дальше от плоскости проекции, тем он мельче (точный анализ показывает, что длины изображений равных отрезков, параллельных плоскости проекции, обратно пропорциональны расстоянию от этих отрезков до нее).

Рис. 2. Перспектива – прямые сходятся на линии горизонта

 

Рис. 3. Перспектива

Следует отметить, что перспектива является лишь одним из многих способов передачи пространства на плоскости, имеющим и свои преимущества, и недостатки. Перспективное изображение соответствует фотографии, но не во всем похоже на вид, воспринимаемый человеческим глазом, поскольку производится с одной, неподвижной точки зрения. Даже если наблюдатель неподвижен, его глаз, в отличие от объектива фотоаппарата, не смотрит все время в одну точку, а быстро пробегает по рассматриваемому предмету, поэтому зрительный образ складывается из кусочков, видимых под разными углами. К тому же мозг вносит в видимое изображение массу поправок.

Даже художники, следующие перспективе, все же нарушают ее в тех случаях, когда буквальное ее соблюдение привело бы к эффектам, которые воспринимаются как неестественные. Например, при изображении ряда одинаковых цилиндрических колонн, параллельного плоскости проекции, находящихся на равном расстоянии друг от друга, пришлось бы уменьшать видимые промежутки между ними при удалении от центра картины. Сферы, находящиеся далеко от центра картины, должны были бы изображаться не как окружности, а как эллипсы.

Рис. 4. Искажение шара при перспективном преобразовании

Важный вклад в историю проективной геометрии внес Ж. Дезарг, стремившийся дать теоретическое обоснование ряду практических приемов, употреблявшихся архитекторами и художниками. В своем главном сочинении – «Черновом наброске подхода к явлениям, происходящим при встрече конуса с плоскостью» (1639 г.) – Дезарг широко применял проективное преобразование, понятия бесконечно удаленных точки и прямой, двойное отношение четырех точек (встречавшееся у Паппа в частных случаях). Дезарг трактовал параболу и гиперболу как замкнутые линии, имеющие с бесконечно удаленной прямой, соответственно, одну или две общие точки, а асимптоты к гиперболе рассматривал как касательные к ней, проведенные в ее бесконечно удаленных точках. Имя Дезарга носит, в частности, теорема о перспективных треугольниках. Даны 3 пересекающихся в одной точке прямых l, m и n; на l взяты точки A1 и A2, на m – точки B1 и B2, на n – точки C1 и C2. Пусть отрезки A1B1 и A2B2 пересекаются в точке D, отрезки B1C1 и B2C2 – в точке E, отрезки C1A1 и C2A2 – в точке F. Тогда точки D, E и F лежат на одной прямой.

Модель 1. Теорема Дезарга о перспективных треугольниках

Эта теорема имеет интересное доказательство: представим себе, что треугольники лежат в разных плоскостях! Тогда точки, в которых пересекаются соответственные стороны треугольников, лежат на прямой, по которой пересекаются плоскости треугольников. Плоский же случай можно рассматривать как проекцию пространственного.

Идеи Дезарга не имели большого успеха: магистральным направлением в геометрии XVII в. стала аналитическая геометрия, методы которой разработал Декарт. Тем не менее, у Дезарга был один выдающийся последователь – Б. Паскаль, который уже в возрасте 16 лет написал небольшой труд о конических сечениях, в котором привел открытый им замечательный результат – т. н. теорему о мистической гексаграмме (или теорему Паскаля): «Три точки пересечения противоположных сторон шестиугольника, вписанного в окружность, лежат на одной прямой».

Модель 2. Теорема Паскаля (мистическая гексаграмма)

Пусть дана окружность, в нее вписан 6-угольник A1B1C1A2B2C, прямые A1B1 и A2B2 пересекаются в точке D, прямые B1C1 и B2C2 – в точке E, прямые C1A1 и C2A2 – в точке F. Рассмотрим две четверки прямых: C2B2, C2A2, C2C1, C2A1 и B1B2, B1A2, B1C1, B1A1. Как вписанные углы, опирающиеся на одинаковые дуги, равны между собой углы B2C2A2 и B2B1A2, A2C2C1 и A2B1C1, C1C2A1 и C1B1A1. По доказанному в прошлом уроке, из этого следует, что, если R – точка пересечения прямых C2B2 и C1A2, а H – точка пересечения прямых B1C1 и B2A2, двойное отношение точек R, A2C1 и F равно двойному отношению точек B2A2H и D. Обозначим точку пересечения прямых EF и B2A2 через D′. Тогда двойное отношение точек B2A2H и D′ совпадает с двойным отношением точек R, A2, C2 и F. Отсюда следует, что точки D и D′ совпадают, а следовательно, точка D лежит на прямой EF.

Рис. 5. Теорема Паскаля

Теорема Паскаля выполняется для всяких шестиугольников – как обычных выпуклых, так и самопересекающихся (замкнутые шестизвенные ломаные). Если даны шесть точек на окружности, то для всякой замкнутой шестизвенной ломаной, соединяющей их, существует, вообще говоря, своя «прямая Паскаля», соединяющая точки пересечения трех пар противоположных сторон. Сколько таких прямых может быть?

Решение

Паскаль показал, что из этой теоремы следует много интересных фактов теории конических сечений. Дело в том, что с помощью центрального проектирования окружность можно перевести в любое коническое сечение: теорема Паскаля будет выполняться, таким образом, для шестиугольника, вписанного в любое коническое сечение. Если считать пару пересекающихся прямых предельным положением гиперболы, а пару параллельных прямых – пересекающимися в бесконечно удаленной точке, то теорема Паскаля распространится и на «шестиугольник, вписанный в две прямые» – шесть точек, расположенных на двух прямых, т. е. на ситуацию, о которой говорится в теореме Паппа: ее, таким образом, можно рассматривать как частный случай теоремы Паскаля.

Итальянский математик Дж. Чева в сочинении, вышедшем в 1678 г., развил интересный метод доказательства различных теорем, основывающийся на применении понятия центра тяжести. Наибольшую известность получила следующая теорема Чевы. Пусть точки AB и C не лежат на одной прямой, точки DE и F лежат на отрезках, соответственно, ABBC и CA. Если прямые CDAE и BF пересекаются в одной точке, то (AD / DB) ∙ (BE / EC) ∙ (CF / FA) = 1. Верно и обратное: если точки AB и C не лежат на одной прямой, точки DE и F лежат на отрезках, соответственно, ABBC и CA и выполняется равенство (AD / DB) ∙ (BE / EC) ∙ (CF / FA) = 1, то прямые CDAE и BF пересекаются в одной точке. Прямая и обратная теорема Чевы вытекают друг из друга, как и прямая и обратная теоремы Менелая.

Модель 3. Теорема Чевы

Всякий отрезок, идущий от вершины треугольника к его противоположной стороне, иногда называют чевианой: теорема Чевы устанавливает критерий пересечения трех чевиан в одной точке. Тремя чевианами, пересекающимися в одной точке, являются, например:

три медианы – для них AD / DB = BE / EC = CF / FA = 1;

три биссектрисы – для них AD / DB = AC / CBBE / EC = BA / ACCF / FA = CB / BA;

три высоты – для них AD / DB = (AC ∙ cos A) / (CB ∙ cos B), BE / EC = (BA ∙ cos B) / (AC ∙ cos C), CF / FA = (CB ∙ cos C) / (BA ∙ cos A).

Рис. 6. Теорема Чевы

Теорему Чевы можно доказать стандартным методом с помощью свойств проективных преобразований. Применим к чертежу такую центральную проекцию, что точки D′ и E′ станут бесконечно удаленными. (Будем обозначать образы точек и прямых при проектировании теми же буквами, что и исходные точки, но со штрихами). Прямая CD′ будет параллельна AB′, прямая AE′ параллельна BC′, AD′ / DB′ = BE′ / EC = 1; если Q – точка пересечения прямых CD и AE, то четырехугольник ABCQ – параллелограмм. Если прямая BF пересекается с прямыми CD и AE в точке Q, то CF′ / FA = 1, а значит, (AD′ / DB′) ∙ (BE′ / EC′) ∙ (CF′ / FA′) = 1. Следовательно, по свойству центрального проектирования, (AD / DB) ∙ (BE / EC) ∙ (CF / FA) = 1.

Рис. 7. Доказательство теоремы Чевы

Для доказательства обратной теоремы Чевы можно применить понятие центра тяжести. А именно, пусть (AD / DB) ∙ (BE / EC) ∙ (CF / FA) = 1. Поместим в точку A вес PA = 1, в точку B – вес PB = AD / DB, в точку C – вес PC = FA / CF = (AD / DB) ∙ (BE / EC). Тогда, т. к. PB / PA = AD / DB, центр тяжести весов, помещенных в A и B, располагается в точке D; т. к. PB / PC = EC / BE, центр тяжести весов, помещенных в B и C, располагается в точке E; т. к. PC / PA = FA / CF, центр тяжести весов, помещенных в A и C, располагается в точке F. Отсюда следует, что центр тяжести всего треугольника располагается на прямых CDAE и BF, а значит, они пересекаются в одной точке.