Введение в топологию

Топология – сравнительно новый, но очень важный и современный раздел геометрии. Топология изучает такие свойства фигур, которые не меняются при непрерывных преобразованиях. Точное определение непрерывных преобразований мы сейчас давать не будем, ограничимся таким пояснением: это преобразования, при котором фигуры могут как угодно растягиваться и изгибаться, но без разрывов и склеек. Топологию иногда в шутку называют «геометрией на резиновой поверхности».

Рассмотрим, например, треугольник. Для топологии не имеют значения ни длины его сторон, ни величины углов, ни площади, ни даже тот факт, что он состоит из трех прямолинейных отрезков. Нетрудно видеть, что посредством непрерывного преобразования можно прямолинейный треугольник превратить в криволинейный, в овал, в окружность, в квадрат...

Рис. 1. Преобразование треугольника в квадрат и круг

С точки зрения топологии, все эти объекты неразличимы. Говорят, что они топологически эквивалентны.

А вот превратить, скажем, круг в кольцо нельзя, поскольку у кольца граница состоит из двух не связанных между собой кусков: для этого пришлось бы что-то порвать либо склеить, а тогда преобразование не было бы непрерывным.

Рис. 2. Преобразование круга в кольцо невозможно

Знаменитый популяризатор науки – Мартин Гарднер – говорил, что тополог – это математик, который не в состоянии отличить бублик от кофейной чашки. Действительно, эти два объекта топологически эквивалентны.

Рис. 3. Преобразование бублика в чашку

Попытайтесь сделать следующие упражнения.

Решите аналогичную задачу с буквами (считается, что буквы состоят из линий, не имеющих толщины).

Рис. 4. Найдите топологически эквивалентные буквы

Разбейте имеющиеся объекты на несколько групп таким образом, чтобы объекты, попавшие в одну группу, были бы топологически эквиваленты.

Рис. 5. Найдите топологически эквивалентные предметы

Топология – весьма интенсивно развивающийся в последние 100 лет раздел математики, находящий много применений в физике, химии, биологии. Мы в нашем курсе познакомимся с первыми страницами в истории топологии. Две из них – «Задача о кёнегсбергских мостах» и «Теорема Эйлера о многогранниках» – связаны с именем крупнейшего математика XVIII в. – Л. Эйлера, внесшего важный вклад в самые разные области математики. Третья – «Односторонние поверхности» – рассказывает о важных открытиях математиков XIX в. – А. Ф. Мёбиуса и И. Б. Листинга (именно Листинг назвал новую математическую науку «топологией»).