---

Показать решение

---

Скрыть решение

Решение

Два числа, отличающиеся лишь порядком цифр, дают одинаковые остатки при делении на 9. Выясним какие остатки при делении на 9 могут давать числа вида 2ⁿ (n = 1, 2, 3, ...):

21 ≡ 2 (mod 9),		24 ≡ 7 (mod 9),		27 ≡ 2 (mod 9),
22 ≡ 4 (mod 9),		25 ≡ 5 (mod 9),		28 ≡ 4 (mod 9),
23 ≡ 8 (mod 9),		26 ≡ 1 (mod 9),		.............

Докажем, что последовательность остатков 2, 4, 8, 7, ... периодична с периодом 6. Действительно,
2^{n + 6} – 2ⁿ = 2ⁿ(2⁶ – 1) = 63 · 2ⁿ ≡ 0 (mod 9).
Предположим, что две степени двойки отличаются порядком цифр, тогда они отличаются не менее чем в 2⁶ = 64 раза, т. е. в них разное число цифр. Противоречие.

Ответ

нет, не существует.