Модели неевклидовых геометрий. Общая риманова геометрия

Модель неевклидовой геометрии, например, геометрии Лобачевского, – это область евклидова пространства, в которой, при надлежащем определении точек, прямых, расстояний и т. д. выполняются такие соотношения между ними, как в данной неевклидовой геометрии. Модель – это как бы перевод неевклидовой геометрии на язык объектов евклидовой. Наличие модели неевклидовой геометрии доказывает непротиворечивость этой геометрии: по крайней мере, она столь же непротиворечива, как евклидова.

Например, на поверхности сферы, если считать ее большие круги прямыми (что естественно, т. к. они реализуют кратчайший путь из точки в точку), действуют законы геометрии, отличной и от геометрии Евклида, и от геометрии Лобачевского. Как и в геометрии Лобачевского, там нет подобных треугольников, и знания углов треугольника достаточно для того, чтобы найти его стороны. Сумма углов треугольника отличается от 180° на величину, пропорциональную площади – но не в меньшую сторону (как в геометрии Лобачевского), а в большую. Сфера реализует гипотезу тупого угла. Чем больше окружность, тем меньше у нее отношение длины к радиусу. Там все прямые пересекаются между собой – параллельных прямых нет вообще. Там не выполняется аксиома, по которой через две точки может проходить не более одной прямой: через полюсы проходит сколько угодно меридианов. Все прямые и вообще вся плоскость там ограничены. В то же время в небольших областях сферы геометрия достаточно мало отличается от евклидовой: в самом деле, мы, например, не замечаем этого отличия, хотя живем на большой сфере.

Нет ли поверхности, на которой реализуется геометрия Лобачевского? Оказывается, есть. Это показал в 1868 г. итальянский математик Э. Бельтрами. Такая поверхность называется псевдосфера. Более точно следует сказать, что она образует модель некоторого куска плоскости Лобачевского (если считать прямыми Лобачевского кратчайшие кривые на этой поверхности). Псевдосфера образуется вращением кривой, называемой трактрисой, вокруг ее асимптоты. Трактриса характеризуется тем, что длина касательной к ней (от точки касания до асимптоты) постоянна.

Рис. 1. Псевдосфера


Ф. Клейн изобрел модель плоскости Лобачевского, реализующуюся на части евклидовой плоскости – а именно, на внутренности некоторого круга. Прямыми Лобачевского считаются отрезки прямых, лежащие внутри этого круга. Если они пересекаются внутри круга, то это – пересекающиеся прямые; если на границе, то это параллельные прямые. В противном случае они являются расходящимися. За расстояние между двумя точками A и B принимается число где P и Q – точки пересечения прямой AB с окружностью, ограничивающей модель. Угол между прямыми определяется более сложно, но, по крайней мере, если данная прямая – диаметр круга, то перпендикуляры Лобачевского к ней – это обычные евклидовы перпендикуляры. Поскольку проективные преобразования сохраняют двойное отношение (а значит, и его логарифм), те проективные преобразования, которые переводят этот круг сам в себя, можно считать перемещениями плоскости Лобачевского. По мере приближения к границе масштаб данной модели делается все меньше и меньше: таким образом, от каждой точки внутри круга до границы расстояние равно бесконечности, если считать его по данной формуле. Именно поэтому бесконечную плоскость Лобачевского удается промоделировать конечным кругом.

Рис. 2. Модель Клейна плоскости Лобачевского


А. Пуанкаре предложил другую модель плоскости Лобачевского, основанную на свойствах не проективных, а круговых преобразований. Эта модель также реализована на внутренности круга. Прямыми Лобачевского считаются либо прямые, проходящие через центр, либо окружности, перпендикулярные границе модели. Расстояние Лобачевского вычисляется по такой же формуле, что и в модели Клейна, а вот углы будут обычными евклидовыми углами между окружностями: углы являются инвариантами круговых преобразований.

Рис. 3. Модель Пуанкаре плоскости Лобачевского


1.

Убедитесь, что в обоих моделях через каждую точку вне данной прямой p проходят по крайней мере две прямые, не пересекающие данную. Найдите, где располагаются прямые, проходящие через данную точку и параллельные данной; расходящиеся по отношению к данной; пересекающие данную.

Ответ
2.

Пусть прямая p проходит через центр круга. Убедитесь в обеих моделях, что проекция на p прямой, пересекающей ее или расходящейся с ней, имеет конечную длину, а проекция параллельной представляет собой луч.

Ответ
3.

В модели Пуанкаре убедитесь, что, если один из углов треугольника фиксирован (т. е. фиксировано положение вершины и лучей, являющихся сторонами угла), то площадь треугольника тем больше, чем меньше сумма углов.

Ответ

Как уже было сказано в теме «Различные группы преобразований», Клейн считал каждую геометрию наукой об инвариантных свойствах той или иной группы преобразований (подгруппы проективных преобразований). Однако эти свойства являются глобальными свойствами, т. е. проявляющимися во всем пространстве. По сравнению с Клейном Б. Риман развил более общую точку зрения, позволяющую говорить о геометрических свойствах, меняющихся от точки к точке. Вслед за Гауссом Риман развил теорию координат на поверхности – вроде сферических широты и долготы, но, в данном случае, локальных (действующих в малой области, по соседству с какой-либо точкой); с помощью таких координат можно выяснить геометрические свойства в локальной области. Рассмотрим, например, поверхность сложной формы. На ней есть места, где она выпукла, и там локальные геометрические свойства похожи на сферу. Есть места, где поверхность по одним направлениям выгнута в одну сторону, а по другим в другую; там локальные геометрические свойства похожи на псевдосферу. Наконец, есть и «плоские» точки.

Рис. 4. Поверхности различной кривизны: сфера, цилиндр, седло


Риман выяснил, что важным параметром, определяющим характер локальной геометрии, является кривизна. У сферы (и вообще, у выпуклых поверхностей) кривизна положительна, у псевдосферы отрицательна. У сферы кривизна везде одна и и так же, но на поверхности более сложной формы она может меняться от точки к точке – не только по знаку, но и по модулю. У плоскости, а также цилиндра и конуса, которые можно свернуть из плоского листа, кривизна равна 0. Псевдосфера – это единственная поверхность постоянной отрицательной кривизны. Вы можете выяснить, какой знак кривизны у данной поверхности в той или другой точке, если приложите в этом месте бумажку, постаравшись это сделать как можно плотнее: если бумажка ляжет плотно, кривизна нулевая; если на ней появятся складки и морщины – кривизна положительная, если бумажка начнет рваться – кривизна отрицательная.

Рис. 5. Кривизна поверхности отсчитывается относительно плоскости: морщины при наложении плоскости говорят о положительной кривизне, разрывы – об отрицательной


Какие точки на этой поверхности вращения имеют положительную, а какие отрицательную кривизну?

Рис. 6. Поверхность переменной кривизны


Ответ

В общей теории относительности, созданной А. Эйнштейном, наше трехмерное пространство (вернее, четырехмерное пространство-время) считается обладающим кривизной (положительной), меняющейся от точки к точке и зависящей от масс: геометрия пространства, во-первых, в разных точках разная, а во-вторых, определяется массами вещества вблизи этих точек. Лучи света движутся по прямым – т. е. по линиям наименьшего времени; но в «кривом» пространстве геометрические отношения между этими линиями могут быть другими, чем в пустом пространстве. Так, вблизи тяжелых масс (например, вблизи звезд) свет искривляется, притягиваясь к ним, а пространство делается более кривым, – так, сумма углов треугольника в большей мере отклоняется от 180°. Тщательные наблюдения во время солнечный затмений подтвердили предсказания Эйнштейна об искривлении лучей звезд, идущих мимо Солнца. Так что мы с вами живем в неевклидовом мире, да еще в мире, который, в соответствии с идеями Римана, имеет разную геометрию от точки к точке.